Question

如圖，OABC是一個(gè)放在平面直角坐標(biāo)系中的矩形，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，OA=3，OC=4，平行于對角線AC的直線m從原點(diǎn)O出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)直線m與矩形OABC的兩邊分別交于點(diǎn)M、N，直線運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒）．
（1）寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）t為何值時(shí)，MN=

1

2

AC；
（3）設(shè)△OMN的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍；當(dāng)t為何值時(shí)，S有最大值？并求S的最大值．

Answer 1

分析：（1）由于四邊形OABC是矩形，可直接根據(jù)OA、OC的長寫出B點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）此題要分兩種情況考慮：
①M(fèi)在線段OA上，N在線段OC上時(shí)，即0＜t≤3時(shí)，若MN=

1

2

AC，則MN是△OAC的中位線，此時(shí)OA=2OM，據(jù)此可求出t的值；
②M在線段AB上，N在線段BC上時(shí)，即3＜t＜6時(shí)，若MN=

1

2

AC，則MN是△ABC的中位線，設(shè)直線m與x軸的交點(diǎn)為D，可證得△AMD≌△BMN，由此可得BN=AD，進(jìn)而可求出OD的長及t的值；
（3）參照（2）的解題思路，此題也要分作兩種情況：
①當(dāng)0＜t≤3時(shí)，M在線段OA上，N在線段OC上；可用t分別表示出OM、ON的長，進(jìn)而可求出S、t的函數(shù)關(guān)系式；
②當(dāng)3＜t＜6時(shí)，M在線段AB上，N在線段BC上；此時(shí)△OMN的面積，可由矩形OABC、△OMD、△OCN的面積差求得；
得出相關(guān)的函數(shù)解析式后，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)及對應(yīng)的自變量的取值范圍，即可求出S的最大值及對應(yīng)的t的值．

解答：解：（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)是（3，4）；（1分）

（2）當(dāng)0＜t≤3時(shí)，∵M(jìn)N∥AC，且MN=

1

2

AC，
∴M是AB的中點(diǎn)；
∴t=1.5秒；
當(dāng)3＜t＜6時(shí)，
設(shè)直線m與x軸交點(diǎn)為D，
∵M(jìn)N∥AC且MN=

1

2

AC，
∴M為AB的中點(diǎn)；
可證：△AMD≌△BMN；
∴BN=AD=t-3；
∴△BMN∽△BAC；
∴

BN

BC

=

MN

AC

∴

t-3

3

=

1

2

；
∴t=4.5秒；
當(dāng)t=1.5秒或t=4.5秒時(shí)，MN=

1

2

AC；（3分）

（3）當(dāng)0＜t≤3時(shí)，OM=t；
由△OMN∽△OAC，得

OM

OA

=

ON

OC

，
∴ON=

3

4

t，S=

2

3

t²；（4分）
當(dāng)3＜t＜6時(shí)，
∵OD=t，
∴AD=t-3；
易知四邊形ADNC是平行四邊形，
∴CN=AD=t-3，BN=6-t；
由△BMN∽△BAC，可得BM=

4

3

BN=8-

4

3

t，
∴AM=-4+

4

3

t；
S=S_矩形OABC-S_Rt△OAM-S_Rt△MBN-S_Rt△NCO
=12-

3

2

（-4+

4

3

t）-

1

2

×（8-

4

3

t）（6-t）-

4

2

（t-3）
=-

2

3

t²+4t；
當(dāng)0＜t≤3時(shí)，
∵拋物線S=

2

3

t²的開口向上，在對稱軸t=0的右邊，S隨t的增大而增大，
∴當(dāng)t=3時(shí)，S可取到最大值

2

3

×3²=6．
當(dāng)3＜t＜6時(shí)，
∵拋物線S=-

2

3

t²+4t的開口向下，它的頂點(diǎn)是（3，6），
∴S＜6；（8分）
綜上，當(dāng)t=3時(shí)，S有最大值6．

點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點(diǎn)有矩形的性質(zhì)、三角形中位線定理、全等三角形及相似三角形的判定和性質(zhì)、二次函數(shù)的應(yīng)用等．在求有關(guān)動(dòng)點(diǎn)問題時(shí)要注意分析題意分情況討論結(jié)果．