(2006•臨汾)如圖,直線y=-x+3與x軸,y軸分別相交于點(diǎn)B,點(diǎn)C,經(jīng)過(guò)B,C兩點(diǎn)的拋物線y=ax2+bx+c與x軸的另一交點(diǎn)為A,頂點(diǎn)為P,且對(duì)稱軸是直線x=2.
(1)求A點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(3)連接AC.請(qǐng)問(wèn)在x軸上是否存在點(diǎn)Q,使得以點(diǎn)P,B,Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】分析:(1)根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性,已知對(duì)稱軸的解析式以及B點(diǎn)的坐標(biāo),即可求出A的坐標(biāo)
(2)已知了拋物線過(guò)A、B、C三點(diǎn),而且三點(diǎn)的坐標(biāo)都已得出,可用待定系數(shù)法來(lái)求函數(shù)的解析式.
(3)本題要先根據(jù)拋物線的解析式求出頂點(diǎn)P的坐標(biāo),然后求出BP的長(zhǎng),進(jìn)而分情況進(jìn)行討論:
①當(dāng)∠PQB=∠CAB,即BQ:AB=PB:BC時(shí),根據(jù)A、B的坐標(biāo)可求出AB的長(zhǎng),根據(jù)B、C的坐標(biāo)可求出BC的長(zhǎng),已經(jīng)求出了PB的長(zhǎng)度,那么可根據(jù)比例關(guān)系式得出BQ的長(zhǎng),即可得出Q的坐標(biāo).
②當(dāng)∠QPB=∠CAB,即BQ:BC=BP:AB,可參照①的方法求出Q的坐標(biāo).
③當(dāng)∠QBP=∠CAB,根據(jù)P點(diǎn)和A點(diǎn)的坐標(biāo)即可得出∠CAO與∠QBP是不相等的,因此∠CAB與∠QBP也不會(huì)相等,因此此種情況是不成立的.
綜上所述即可得出符合條件的Q的坐標(biāo).
解答:解:(1)∵直線y=-x+3與x軸相交于點(diǎn)B,
∴當(dāng)y=0時(shí),x=3,
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,0).
又∵拋物線過(guò)x軸上的A,B兩點(diǎn),且對(duì)稱軸為x=2,
根據(jù)拋物線的對(duì)稱性,
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0).

(2)∵y=-x+3過(guò)點(diǎn)C,易知C(0,3),
∴c=3.
又∵拋物線y=ax2+bx+c過(guò)點(diǎn)A(1,0),B(3,0),

解,得
∴y=x2-4x+3.

(3)連接PB,由y=x2-4x+3=(x-2)2-1,得P(2,-1),
設(shè)拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)M,
∵在Rt△PBM中,PM=MB=1,
∴∠PBM=45°,PB=
由點(diǎn)B(3,0),C(0,3)易得OB=OC=3,在等腰直角三角形OBC中,∠ABC=45°,
由勾股定理,得BC=3
假設(shè)在x軸上存在點(diǎn)Q,使得以點(diǎn)P,B,Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似.
①當(dāng),∠PBQ=∠ABC=45°時(shí),△PBQ∽△ABC.

∴BQ=3,
又∵BO=3,
∴點(diǎn)Q與點(diǎn)O重合,
∴Q1的坐標(biāo)是(0,0).
②當(dāng),∠QBP=∠ABC=45°時(shí),△QBP∽△ABC.
,
∴QB=
∵OB=3,
∴OQ=OB-QB=3-,
∴Q2的坐標(biāo)是(,0).
∵∠PBx=180°-45°=135°,∠BAC<135°,
∴∠PBx≠∠BAC.
∴點(diǎn)Q不可能在B點(diǎn)右側(cè)的x軸上
綜上所述,在x軸上存在兩點(diǎn)Q1(0,0),Q2,0),
能使得以點(diǎn)P,B,Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似.
點(diǎn)評(píng):本小題主要考查待定系數(shù)法、方程、函數(shù)及三角形相似等知識(shí),考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力,考查數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想.
此題是一道以函數(shù)為背景的綜合壓軸題,第1、2兩個(gè)小題較為容易,上手很輕松,第3小題中很容易看出要討論相似三角形的對(duì)應(yīng)頂角,想提醒大家的是在中考中應(yīng)該對(duì)可能的情況進(jìn)行逐一討論,才能盡量防止漏解,如本題中的第3種情況實(shí)際上不成立,但最好也討論一下,有時(shí)不成立的情況也會(huì)是一個(gè)得分點(diǎn),這樣在考場(chǎng)上浪費(fèi)不了多少時(shí)間,卻能避免失分的風(fēng)險(xiǎn).
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A.
B.
C.
D.

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A.
B.
C.
D.

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(1)求A點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(3)連接AC.請(qǐng)問(wèn)在x軸上是否存在點(diǎn)Q,使得以點(diǎn)P,B,Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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(1)等腰直角三角形PMN在整個(gè)移動(dòng)過(guò)程中與等腰梯形ABCD重疊部分的形狀由______形變化為______形;
(2)設(shè)當(dāng)?shù)妊苯侨切蜳MN移動(dòng)x(s)時(shí),等腰直角三角形PMN與等腰梯形ABCD重疊部分的面積為y(cm2),求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(3)當(dāng)x=4(s)時(shí),求等腰直角三角形PMN與等腰梯形ABCD重疊部分的面積.

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