Question

（14分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A、D兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，四邊形OBCD是矩形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，4），已知點(diǎn)E（m，0）是線段DO上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作PE⊥x軸交拋物線于點(diǎn)P，交BC于點(diǎn)G，交BD于點(diǎn)H．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）當(dāng)點(diǎn)P在直線BC上方時(shí)，請(qǐng)用含m的代數(shù)式表示PG的長(zhǎng)度；

（3）在（2）的條件下，是否存在這樣的點(diǎn)P，使得以P、B、G為頂點(diǎn)的三角形與△DEH相似？若存在，求出此時(shí)m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）拋物線的解析式為y=﹣x2﹣x+4；

（2）PG=﹣m2﹣m+4﹣4=﹣m2﹣m

（3）m的值為﹣1或﹣．

【解析】

試題分析：（1）把點(diǎn)A（1，0），點(diǎn)B（0，4）代入y=﹣x2+bx+c，得方程組，然后解方程再即可；（2）由PE⊥x軸可知點(diǎn)P與點(diǎn)E的橫坐標(biāo)相同x=m，代入（1）中函數(shù)解析式y(tǒng)=﹣x2﹣x+4可得點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，然后根據(jù)PG=PE-EG代入化簡(jiǎn)即可；（3）求出直線BD的解析式，然后用含m的代數(shù)式表示PG、HE、DE、DH的長(zhǎng)度，然后分△BGP∽△DEH和△PGB∽△DEH，兩種情況，利用相似三角形的性質(zhì)對(duì)應(yīng)邊成比例得出關(guān)于m的方程，然后解方程即可.

試題解析：（1）∵拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（1，0），與y軸交于點(diǎn)B（0，4），∴，

解得，∴拋物線的解析式為；

（2）∵E（m，0），B（0，4），PE⊥x軸交拋物線于點(diǎn)P，交BC于點(diǎn)G，

∴P（m，，G（m，4），∴PG=；

點(diǎn)P在直線BC上方時(shí)，故需要求出拋物線與直線BC的交點(diǎn)，

令4=，解得m=-2或0，即m的取值范圍：-2＜m＜0，

PG的長(zhǎng)度為：（-2＜m＜0）；

（3）在（2）的條件下，存在點(diǎn)P，使得以P、B、G為頂點(diǎn)的三角形與△DEH相似．

∵y=，

∴當(dāng)y=0時(shí)，=0，

解得x=1或-3，

∴D（-3，0）．

當(dāng)點(diǎn)P在直線BC上方時(shí)，-2＜m＜0．

設(shè)直線BD的解析式為y=kx+4，

將D（-3，0）代入，得-3k+4=0， 解得k= ，

∴直線BD的解析式為y=x+4，∴H（m，m+4）．

分兩種情況：

①如果△BGP∽△DEH，那么 ，

即 ，

解得m=0或-1，由-2＜m＜0，故m=-1；

②如果△PGB∽△DEH，那么 ，

即 ，

由-2＜m＜0，解得m=- ．

綜上所述，在（2）的條件下，存在點(diǎn)P，使得以P、B、G為頂點(diǎn)的三角形與△DEH相似，此時(shí)m的值為-1或- ．

考點(diǎn)：1.待定系數(shù)法求解析式；2.相似三角形的判定與性質(zhì)；3.二次函數(shù)與幾何知識(shí)的綜合.

考點(diǎn)分析： 考點(diǎn)1：二次函數(shù) 定義：
一般地，如果（a，b，c是常數(shù)，a≠0），那么y叫做x 的二次函數(shù)。
①所謂二次函數(shù)就是說(shuō)自變量最高次數(shù)是2;
②二次函數(shù)（a≠0）中x、y是變量，a，b，c是常數(shù)，自變量x 的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，b和c可以是任意實(shí)數(shù)，a是不等于0的實(shí)數(shù)，因?yàn)閍=0時(shí)，變?yōu)閥=bx+c若b≠0,則y=bx+c是一次函數(shù)，若b=0，則y=c是一個(gè)常數(shù)函數(shù)。
③二次函數(shù)（a≠0）與一元二次方程（a≠0）有密切聯(lián)系，如果將變量y換成一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)二次函數(shù)就是一個(gè)一元二次函數(shù)。 二次函數(shù)的解析式有三種形式：
（1）一般式：（a，b，c是常數(shù)，a≠0）；
（2）頂點(diǎn)式： （a，h，k是常數(shù)，a≠0）
（3）當(dāng)拋物線與x軸有交點(diǎn)時(shí)，即對(duì)應(yīng)二次好方程有實(shí)根x₁和x₂存在時(shí)，根據(jù)二次三項(xiàng)式的分解因式，二次函數(shù)可轉(zhuǎn)化為兩根式。如果沒(méi)有交點(diǎn)，則不能這樣表示。

二次函數(shù)的一般形式的結(jié)構(gòu)特征：
①函數(shù)的關(guān)系式是整式；
②自變量的最高次數(shù)是2；
③二次項(xiàng)系數(shù)不等于零。 二次函數(shù)的判定：
二次函數(shù)的一般形式中等號(hào)右邊是關(guān)于自變量x的二次三項(xiàng)式；
當(dāng)b=0，c=0時(shí)，y=ax²是特殊的二次函數(shù)；
判斷一個(gè)函數(shù)是不是二次函數(shù)，在關(guān)系式是整式的前提下，如果把關(guān)系式化簡(jiǎn)整理（去括號(hào)、合并同類(lèi)項(xiàng)）后，能寫(xiě)成（a≠0）的形式，那么這個(gè)函數(shù)就是二次函數(shù)，否則就不是。 試題屬性

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