Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（﹣3，0），B（1，0），C（0，﹣3）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)P為第三象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn)，設(shè)△PAC的面積為S，求S的最大值并求出此時點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D，DE⊥x軸于點(diǎn)E，在y軸上是否存在點(diǎn)M，使得△ADM是直角三角形？若存在，請直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由于拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A（﹣3，0），B（1，0），可設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x+3）（x﹣1），

將C點(diǎn)坐標(biāo)（0，﹣3）代入，得：

a（0+3）（0﹣1）=﹣3，解得 a=1，

則y=（x+3）（x﹣1）=x2+2x﹣3，

所以拋物線的解析式為：y=x2+2x﹣3

（2）

解：過點(diǎn)P作x軸的垂線，交AC于點(diǎn)N．

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+m，由題意，得

，解得 ，

∴直線AC的解析式為：y=﹣x﹣3．

設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x2+2x﹣3），則點(diǎn)N的坐標(biāo)為（x，﹣x﹣3），

∴PN=PE﹣NE=﹣（x2+2x﹣3）+（﹣x﹣3）=﹣x2﹣3x．

∵S△PAC=S△PAN+S△PCN，

∴S= PNOA

= ×3（﹣x2﹣3x）

=﹣ （x+ ）2+ ，

∴當(dāng)x=﹣ 時，S有最大值 ，此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣ ，﹣ ）

（3）

解：在y軸上是存在點(diǎn)M，能夠使得△ADM是直角三角形．理由如下：

∵y=x2+2x﹣3=y=（x+1）2﹣4，

∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣1，﹣4），

∵A（﹣3，0），

∴AD2=（﹣1+3）2+（﹣4﹣0）2=20．

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，t），分三種情況進(jìn)行討論：

①當(dāng)A為直角頂點(diǎn)時，如圖3①，

由勾股定理，得AM2+AD2=DM2，即（0+3）2+（t﹣0）2+20=（0+1）2+（t+4）2，

解得t= ，

所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0， ）；

②當(dāng)D為直角頂點(diǎn)時，如圖3②，

由勾股定理，得DM2+AD2=AM2，即（0+1）2+（t+4）2+20=（0+3）2+（t﹣0）2，

解得t=﹣ ，

所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，﹣ ）；

③當(dāng)M為直角頂點(diǎn)時，如圖3③，

由勾股定理，得AM2+DM2=AD2，即（0+3）2+（t﹣0）2+（0+1）2+（t+4）2=20，

解得t=﹣1或﹣3，

所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，﹣1）或（0，﹣3）；

綜可知，在y軸上存在點(diǎn)M，能夠使得△ADM是直角三角形，此時點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0， ）或（0，﹣ ）或（0，﹣1）或（0，﹣3）

【解析】（1）已知拋物線上的三點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出該二次函數(shù)的解析式；（2）過點(diǎn)P作x軸的垂線，交AC于點(diǎn)N，先運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x2+2x﹣3），根據(jù)AC的解析式表示出點(diǎn)N的坐標(biāo)，再根據(jù)S△PAC=S△PAN+S△PCN就可以表示出△PAC的面積，運(yùn)用頂點(diǎn)式就可以求出結(jié)論；（3）分三種情況進(jìn)行討論：①以A為直角頂點(diǎn)；②以D為直角頂點(diǎn)；③以M為直角頂點(diǎn)；設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，t），根據(jù)勾股定理列出方程，求出t的值即可．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)；增減性：當(dāng)a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減��；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小即可以解答此題．