Question

如圖1，點D在反比例函y=

k

x

(k＞0)的圖象上，△ODC是以CO為斜邊的等腰直角三角形，且C （4，0）．
（1）求k的值；
（2）將線段DC平移至線段D₁C₁，D₁在x軸的負(fù)半軸上，C₁在雙曲線y=

k

x

上，求點D₁的坐標(biāo)；
（3）如圖2，雙曲線y=

k

x

 的圖象上有兩個動點A（a，m），B（3a，b），（a＞0），求S_△OAB的值．

Answer 1

分析：（1）由于△OCD是等腰直角三角形，不難得出D（2，2），將其代入反比例函數(shù)的解析式y(tǒng)=

k

x

（k＞0）中即可求出k的值；
（2）連接DD₁，CD₁可知四邊形DD₁C₁C為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可得出點D₁的坐標(biāo)；
（3）先根據(jù)動點A（a，m），B（3a，b）在反比例函數(shù)y=

k

x

（k＞0）的圖象上，故am=3ab，即b=

m

3

，分別過點AB作AC⊥x軸，BD⊥x軸，垂足分別為C、D，由反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義可知，S_△AOC=S_△BOD=

1

2

k=2，故S_△OAB=S_梯形ACDB，由此即可得出結(jié)論．

解答：解：（1）過點H作DH⊥CO，
∵點C在x軸的正半軸上且坐標(biāo)為（4，O），△ODC是以CO為斜邊的等腰直角三角形，
∴DH=HO=HC=2，
∴由題可知：D（2，2），
∵點D在反比例函數(shù)y=

k

x

（k＞0）上，
∴k=2×2=4；
  
（2）連接DD₁，CD₁，
∵線段D₁C₁，由線段DC平移而成，
∴四邊形DD₁C₁C為平行四邊形，
∴D₁于點C關(guān)于原點對稱，
∵C（4，0），
∴D₁（-4，0）；

（3）∵點A（a，m），B（3a，b）在反比例函數(shù)y=

4

x

（k＞0）的圖象上，
∴am=3ab，即b=

m

3

，am=4，
分別過點AB作AC⊥x軸，BD⊥x軸，垂足分別為C、D，
∴S_△AOC=S_△BOD=

1

2

k=

1

2

×4=2，
∴S_△OAB=S_梯形ACDB，即S_△OAB=

1

2

（m+b）×（3a-a）=

1

2

×

4

3

m×2a=

4am

3

=

4×4

3

=

16

3

．

點評：本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，熟知反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義及反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特點是解答此題的關(guān)鍵．