Question

1．在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=a，將一塊三角板的直角頂點(diǎn)放在斜邊AB的中點(diǎn)P處，將三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，三角板與兩直角邊分別交于D，E兩點(diǎn)．
（1）圖1中，線段PD與PE的數(shù)量關(guān)系是PD=PE．
（2）在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，判斷△PDE的形狀，并給予證明．
（3）在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，四邊形PDCE的面積是否發(fā)生變化，若不變，求出面積的值（用含a的式子表示）；若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（4）在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)S_△DPE=S_△DCE，DE=2$\sqrt{2}$，求a的值．

Answer 1

分析 （1）連接PC，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，判定△DCP≌△EBP（ASA），即可得出PD=PE；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到PD=PE，再根據(jù)∠DPE=90°，即可得到△PDE是等腰直角三角形；
（3）根據(jù)△DCP≌△EBP，可得S_△DCP=S_△EBP，再根據(jù)四邊形PDCE的面積=S_△DCP+S_△ECP=S_△EBP+S_△ECP=S_△BCP=$\frac{1}{2}$S_△ABC進(jìn)行計(jì)算即可；
（4）先根據(jù)S_△DPE=S_△DCE，DE=2$\sqrt{2}$，求得S_△DCE=2，設(shè)DC=x，CE=y，則BE=x，根據(jù)Rt△DCE中，$\frac{1}{2}$xy=2，x²+y²=（2$\sqrt{2}$）²，可得（x+y）²=16，據(jù)此可得x+y=4，即BE+CE=4，進(jìn)而得到a的值．

解答 解：（1）連接PC，
∵△ABC中，∠C=90°，AC=BC=a，P為AB的中點(diǎn)，
∴CP⊥AB，CP=$\frac{1}{2}$AB=BP，∠DCP=∠B=45°，
∵∠DPE=90°，
∴∠DPC=∠EPB，
在△DCP和△EBP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DPC=∠EPB}\\{CP=BP}\\{∠DCP=∠B}\end{array}\right.$，
∴△DCP≌△EBP（ASA），
∴PD=PE，CD=BE，
故答案為：PD=PE；

（2）△PDE的形狀為等腰直角三角形，
證明：由（1）可得，PD=PE，
又∵∠DPE=90°，
∴△PDE是等腰直角三角形；

（3）四邊形PDCE的面積不發(fā)生變化．
理由：由（1）可得，△DCP≌△EBP，
∴S_△DCP=S_△EBP，
∴四邊形PDCE的面積=S_△DCP+S_△ECP=S_△EBP+S_△ECP=S_△BCP=$\frac{1}{2}$S_△ABC=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$a²=$\frac{1}{4}$a²，
∴四邊形PDCE的面積為定值$\frac{1}{4}$a²；

（4）如圖3，∵△PDE是等腰直角三角形，DE=2$\sqrt{2}$，
∴DP=EP=2，
∴S_△DPE=$\frac{1}{2}$×2×2=2，
∴S_△DCE=2，
設(shè)DC=x，CE=y，則BE=x，
∵Rt△DCE中，$\frac{1}{2}$xy=2，x²+y²=（2$\sqrt{2}$）²，
∴（x+y）²=16，
∵x+y＞0，
∴x+y=4，
即BE+CE=4，
∴a的值為4．

點(diǎn)評(píng) 本題屬于三角形綜合題，主要考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的綜合應(yīng)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形，依據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等進(jìn)行求解．解題時(shí)注意，等腰直角三角形是一種特殊的三角形，具有所有三角形的性質(zhì)，還具備等腰三角形和直角三角形的所有性質(zhì)．