Question

如圖，拋物線y=ax2+bx經過點A（4，0），B（2，2）．連接OB，AB．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）求證：△OAB是等腰直角三角形；

（3）將△OAB繞點O按順時針方向旋轉135°得到△OA′B′，寫出△OA′B′的邊A′B′的中點P的坐標．試判斷點P是否在此拋物線上，并說明理由．

 

 

Answer 1

（1）y=-x2+2x；（2）證明見解析；（3）（-，-2）；點P不在二次函數的圖象上．

【解析】

試題分析：（1）將A、B的坐標代入拋物線的解析式中，通過聯立方程組即可求出拋物線的解析式；

（2）過B作BC⊥x軸于C，根據A、B的坐標易求得OC=BC=AC=2，由此可證得∠BOC、∠BAC、∠OBC、∠ABC都是45°，即可證得△OAB是等腰直角三角形；

（3）當△OAB繞點O按順時針方向旋轉135°時，OB′正好落在y軸上，易求得OB、AB的長，即可得到OB′、A′B′的長，從而可得到A′、B′的坐標，進而可得到A′B′的中點P點的坐標，然后代入拋物線中進行驗證即可．

試題解析：（1）由題意得，

解得；

∴該拋物線的解析式為：y=-x2+2x；

（2）過點B作BC⊥x軸于點C，則OC=BC=AC=2；

∴∠BOC=∠OBC=∠BAC=∠ABC=45°；

∴∠OBA=90°，OB=AB；

∴△OAB是等腰直角三角形；

（3）∵△OAB是等腰直角三角形，OA=4，

∴OB=AB=2；

由題意得：點A′坐標為（-2，-2）

∴A′B′的中點P的坐標為（-，-2）；

當x=-時，y=-×（-）2+2×（-）≠-2；

∴點P不在二次函數的圖象上．

考點：二次函數綜合題．