Question

【題目】如圖,城南中學(xué)八年級學(xué)習(xí)小組發(fā)現(xiàn)：當(dāng)角平分線遇上平行線會出現(xiàn)等腰三角形。例如：圖①，在四邊形ABCD中，BE平分∠ABC，AD//BC,易得△ABE是等腰三角形。該小組將此結(jié)論作拓展：如圖②，四邊形ABCD中， BE平分∠BCD，CF平分∠ABC ，AD//BC，AB=CD=3，AD=4，則EF=________。如圖③，如圖，在長方形ABCD中，AB=3，BC=5，點E在邊AD上，連接BE，△EAB沿BE翻折得到△EA1B，延長交BC于點F，若四邊形EFCD的周長為11，則EF=________。

Answer 1

【答案】2 .

【解析】

②、由①結(jié)論分別得出AE和DF的長，然后根據(jù)線段之間的關(guān)系即可求出DE的長，則EF的長度可求；③過F作FG⊥ED，交ED于G，利用折疊的性質(zhì)及矩形的性質(zhì)推得△B A1F≌△FGE，得出EF=BF，EG= A1F，于是設(shè)EG=x，EF=y，根據(jù)勾股定理和四邊形EFCD的周長為11分別列方程，聯(lián)立求出y值即可；

解：②、由 ① 結(jié)論得AB=AE=4，DC=DF=3，

∴DE=AD-AE=4-3=1，EF=DF-DE=3-1=2.

③如圖，過F作FG⊥ED，交ED于G，

∵AB=A1B，AB=FG，

∴A1B=FG，

∵四邊形ABCD為矩形，

∴AD∥BC，

∴∠GEF=∠A1FB，

在△BA1F和△FGE中，

，

∴△BA1F≌△FGE（AAS），

∴EF=BF，EG=A1F，

設(shè)EG=x,，EF=y，

則由EF2=EG2+FG2，

得x2+32=y2，

∵四邊形EFCD的周長為11，

∴x+y+3+2（5-y）=11，

即x=y-2，

解得y=.

故答案為：2、.