【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,二次函數(shù)y=ax2﹣4ax+3的圖象與x軸正半軸交于點A、B,與y軸相交于點C,頂點為D,且tan∠CAO=3.
(1)求這個二次函數(shù)的解析式;
(2)點P是對稱軸右側(cè)拋物線上的點,聯(lián)結(jié)CP,交對稱軸于點F,當S△CDF:S△FDP=2:3時,求點P的坐標;
(3)在(2)的條件下,將△PCD沿直線MN翻折,當點P恰好與點O重合時,折痕MN交x軸于點M,交y軸于點N,求的值.
【答案】(1)y=x2﹣4x+3;(2)(5,8);(3)
【解析】
(1)在Rt△AOC中,tan∠CAO==3,求出點A的坐標,即可求解;
(2)利用,即可求解;
(3)證明∠ONM=∠POH,則.
解:(1)∵二次函數(shù)y=ax2﹣4ax+3的圖象與y軸交于點C,
∴點C的坐標為(0,3),
∴OC=3,
連接AC,在Rt△AOC中,tan∠CAO==3,
∴OA=1,
將點A(1,0)代入y=ax2﹣4ax+3,得a﹣4a+3=0,
解得:a=1.
所以,這個二次函數(shù)的解析式為 y=x2﹣4x+3;
(2)過點C作CG⊥DF,過點P作PQ⊥DF,垂足分別為點G、Q.
∵拋物線y=x2﹣4x+3的對稱軸為直線x=2,
∴CG=2,
∵,
∴PQ=3,
∴點P的橫坐標為5,
∴把x=5代入y=x2﹣4x+3,得 y=8,
∴點P的坐標為(5,8);
(3)過點P作PH⊥OM,垂足分別為點H,
∵點P的坐標為(5,8),
∴OH=5,PH=8,
∵將△PCD沿直線MN翻折,點P恰好與點O重合,
∴MN⊥OP,
∴∠ONM+∠NOP=90°,
又∵∠POH+∠NOP=90°,
∴∠ONM=∠POH,
∴.
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【題目】如圖,已知在△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=8,點P是射線AC上一點(不與點A、C重合),過P作PM⊥AB,垂足為點M,以M為圓心,MA長為半徑的⊙M與邊AB相交的另一個交點為點N,點Q是邊BC上一點,且CQ=2CP,聯(lián)結(jié)NQ.
(1)如果⊙M與直線BC相切,求⊙M的半徑長;
(2)如果點P在線段AC上,設(shè)線段AP=x,線段NQ=y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式及定義域;
(3)如果以NQ為直徑的⊙O與⊙M的公共弦所在直線恰好經(jīng)過點P,求線段AP的長.
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【題目】如圖,E,F分別是邊長為2cm的正方形ABCD的邊AD,CD上的動點,滿足AE=DF,連接BE,AF交于G,連接DG,則DG的最小值是_____.
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【題目】在平面直角坐標系中,如果一個圖形向右平移1個單位,再向上平移3個單位,稱為一個變換,已知點,經(jīng)過一個變換后對應點為,經(jīng)過2個變換后對應點為,經(jīng)過個變換后對應點為,則用含的代數(shù)式教示點的坐標為__________.
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【題目】如圖,在矩形中,已知,點是對角線的中點,點是邊上的動點,連接并延長交于點,過作,分別交矩形的邊于點
(1)當四點分別分布在矩形的四條邊上(不包括頂點)時,
①求證:四邊形是菱形.
②求的取值范圍.
(2)當四邊形的面積為144時,求的長.
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【題目】如圖,BC是路邊坡角為30°,長為10米的一道斜坡,在坡頂燈桿CD的頂端D處有一探射燈,射出的邊緣光線DA和DB與水平路面AB所成的夾角∠DAN和∠DBN分別是37°和60°(圖中的點A、B、C、D、M、N均在同一平面內(nèi),CM∥AN).
(1)求燈桿CD的高度;
(2)求AB的長度(結(jié)果精確到0.1米).(參考數(shù)據(jù):=1.73.sin37°≈060,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)
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【題目】為豐富學生課余生活,引領(lǐng)學生多讀書、會讀書、讀好書,重慶一中聘請了西南師大教授講授“詩歌賞析”.為激勵學生積極參與,凡聽課者每人發(fā)了一張帶號碼的入場券,授課結(jié)束后將進行抽獎活動.設(shè)立一等獎一名,獲100元購書卡,二等獎3名分別獲50元購書卡,三等獎6名分別獲價值20元的書一本,紀念獎若干分別獲價值2元的筆一支.工作人員對聽課學生人數(shù)情況進行了統(tǒng)計,繪制了如下統(tǒng)計圖:
請根據(jù)以上信息解答下列問題
(1)這次授課共 名學生參加,扇形圖中的a= ,b= ;
(2)補全條形統(tǒng)計圖;
(3)學校共花費570元設(shè)獎,則本次活動中獎的概率是多大?
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【題目】學校準備購進一批節(jié)能燈,已知1只A型節(jié)能燈和3只B型節(jié)能燈共需26元;3只A型節(jié)能燈和2只B型節(jié)能燈共需29元.
(1)求一只A型節(jié)能燈和一只B型節(jié)能燈的售價各是多少元;
(2)學校準備購進這兩種型號的節(jié)能燈共50只,并且A型節(jié)能燈的數(shù)量不多于B型節(jié)能燈數(shù)量的3倍,請設(shè)計出最省錢的購買方案,并說明理由.
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【題目】如圖1,拋物線y=﹣x2+bx+c的對稱軸為直線x=﹣,與x軸交于點A和點B(1,0),與y軸交于點C,點D為線段AC的中點,直線BD與拋物線交于另一點E,與y軸交于點F.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點P是直線BE上方拋物線上一動點,連接PD、PF,當△PDF的面積最大時,在線段BE上找一點G,使得PG﹣EG的值最小,求出PG﹣EG的最小值.
(3)如圖2,點M為拋物線上一點,點N在拋物線的對稱軸上,點K為平面內(nèi)一點,當以A、M、N、K為頂點的四邊形是正方形時,請求出點N的坐標.
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