Question

（2012•南潯區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)，沿x軸向右以每秒一個(gè)單位長的速度運(yùn)動t秒（t＞0），拋物線y=-x²+bx經(jīng)過點(diǎn)O和點(diǎn)P．已知矩形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)為A（1，0），B（3，0），D（1，3）．
（1）求b的值（用t的代數(shù)式表示）；
（2）當(dāng)3＜t＜4時(shí)，設(shè)拋物線分別與線段AD，BC交于點(diǎn)M，N．
①設(shè)直線MP的解析式為y=kx+m，在點(diǎn)P的運(yùn)動過程中，你認(rèn)為k的大小是否會變化？若變化，請說明理由；若不變，請求出k的值；
②在點(diǎn)P的運(yùn)動過程中，當(dāng)OM⊥MN時(shí)，求出t的值；
（3）在點(diǎn)P的運(yùn)動過程中，若拋物線與矩形ABCD的四條邊有四個(gè)交點(diǎn)，請直接寫出t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入可得b的值．
（2）①將點(diǎn)M的橫坐標(biāo)x=1代入解析式，可得出點(diǎn)M的坐標(biāo)，將M、P的坐標(biāo)代入，得出方程組，解出即可得出k的值．
②過點(diǎn)N作NH⊥AD于點(diǎn)H，分別表示出BN、MH、HN，根據(jù)當(dāng)OM⊥MN時(shí)，可證得△OAM∽△MHN，從而利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例得出t的值．
（3）找兩個(gè)極值點(diǎn)，①拋物線的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)一定要大于點(diǎn)C和點(diǎn)D的縱坐標(biāo)，②當(dāng)x=1時(shí)，拋物線的縱坐標(biāo)一定不能超過點(diǎn)D的縱坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，0），
∴0=-t²+bt，解得：b=t，
（2）①把x=1代入y=-x²+tx，
得y=t-1，即M（1，t-1），
∴

t-1=k+m 0=tk+m

，解得k=-1，
②如圖，過點(diǎn)N作NH⊥AD于點(diǎn)H，
求得：BN=3t-9，MH=8-2t，HN=AB=2，
當(dāng)OM⊥MN時(shí)，可證得△OAM∽△MHN，
故可得

OA

MH

=

AM

HN

，即

1

8-2t

=

t-1

2

，
解得t1=

5+ 5

2

，t2=

5- 5

2

（舍去）
從而可得：t=

5+ 5

2

．
（3）拋物線的解析式為y=-x²+bx=-（x-

b

2

）²+

b2

4

，
①因?yàn)閽佄锞�的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)大于點(diǎn)D和點(diǎn)C的縱坐標(biāo)，所以

b2

4

＞3，
解得b＞2

3

或b＜-2

3

；
②當(dāng)x=1時(shí)，y=-1+b＜3，
解得：b＜4，
綜上可得：2

3

＜b＜4．

點(diǎn)評：此題屬于二次函數(shù)綜合題，涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及相似三角形的判定與性質(zhì)，難點(diǎn)在第三問，關(guān)鍵在于兩個(gè)極值點(diǎn)的尋找．