Question

【題目】如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)D為△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，∠ADB=120°，∠ADC=90°，將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△ACE，連接DE．

（1）求證：AD=DE；

（2）求∠DCE的度數(shù)；

（3）若BD=1，求AD，CD的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）90°；（3）AD=2，DC=．

【解析】試題分析：（1）先利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)判斷出△ADE是等邊三角形即可；（2）利用四邊形內(nèi)角和是360°即可求出∠DCE的度數(shù)；（3）先結(jié)合特殊角求出DE的長度，即求出AD的長度，再用勾股定理求出CD的長度.

試題解析：

（1）證明：∵將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△ACE，

∴△ABD≌△ACE，∠BAC＝∠DAE，

∴AD＝AE，BD＝CE，∠AEC＝∠ADB＝120°，

∵△ABC為等邊三角形，

∴∠BAC＝60°，

∴∠DAE＝60°，

∴△ADE為等邊三角形，

∴AD＝DE；

（2）∵△ABD≌△ACE，

∴∠ADB=∠AEC＝120°，

∵∠ADC＝90°，∠DAE＝60°，

∴∠DCE＝360°－∠ADC－∠AEC－∠DAE＝90°；

（3）∵△ADE為等邊三角形，

∴∠ADE＝60°，

∴∠CDE＝∠ADC－∠ADE＝30°，

又∵∠DCE＝90°，

∴DE＝2CE＝2BD＝2，

∴AD＝DE＝2，

在Rt△DCE中， .