Question

若m為整數(shù)，在使m²+m+4為完全平方數(shù)的所有m的值中，設(shè)其最大值為a，最小值為b，次小值為c．
（1）求a、b、c的值；
（2）對a、b、c進(jìn)行如下操作：任取兩個求其和再除以

2

，同時求其差再除以

2

，加上剩下的一個數(shù)，這樣就仍得到三個數(shù)．再對所得三個數(shù)進(jìn)行如上操作，問能否經(jīng)過若干次上述操作，得到2004，2005，2006？證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）設(shè)m²+m+4=k²（k為非負(fù)整數(shù)），則有m²+m+4-k²=0，由m為整數(shù)知其△為完全平方數(shù)，即1-4（4-k²）=p²（p為非負(fù)整數(shù)），（2k+p）（2k-p）=15，顯然2k+p＞2k-p，再分別求出a、b、c的值即可．
（2）根據(jù)題意所述進(jìn)行計算可得出規(guī)律，繼而可判斷出答案．

解答：解：（1）設(shè)m²+m+4=k²（k為非負(fù)整數(shù)），則有m²+m+4-k²=0，
由m為整數(shù)知其△為完全平方數(shù)，即1-4（4-k²）=p²（p為非負(fù)整數(shù)），
（2k+p）（2k-p）=15，顯然：2k+p＞2k-p，
所以

2k+p=15 2k-p=1

或

2k+p=5 2k-p=3

，
解得p=7或p=1，
所以m=

-1±p

2

，
得：m₁=3，m₂=-4，m₃=0，m₄=-1，
所以a=3，b=-4，c=-1．
（2）因為(

a+b

2

)2+(

a-b

2

)2+c2=a2+b2+c2，
即操作前后，這三個數(shù)的平方和不變，
而3²+（-4）²+（-1）²≠2004²+2005²+2006²．
所以，對a、b、c進(jìn)行若干次操作后，不能得到2004，2005，2006這三個數(shù)．

點評：本題考查了對完全平方數(shù)的理解，拓展應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵，要打破思維常規(guī)進(jìn)行分析．