Question

某課題研究小組就圖形面積問題進(jìn)行專題研究，他們發(fā)現(xiàn)如下結(jié)論：
（1）有一條邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形面積之比等于這條邊上的對應(yīng)高之比；
（2）有一個(gè)角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形面積之比等于夾這個(gè)角的兩邊乘積之比；
…
現(xiàn)請你繼續(xù)對下面問題進(jìn)行探究，探究過程可直接應(yīng)用上述結(jié)論．（S表示面積）

問題1：如圖1，現(xiàn)有一塊三角形紙板ABC，P₁，P₂三等分邊AB，R₁，R₂三等分邊AC．經(jīng)探究知S四邊形P1P2R2R1=

1

3

S_△ABC，請證明．
問題2：若有另一塊三角形紙板，可將其與問題1中的拼合成四邊形ABCD，如圖2，Q₁，Q₂三等分邊DC．請?zhí)骄?span id="zwf7z7b" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">S四邊形P1Q1Q2P2與S_{四邊形ABCD}之間的數(shù)量關(guān)系．
問題3：如圖3，P₁，P₂，P₃，P₄五等分邊AB，Q₁，Q₂，Q₃，Q₄五等分邊DC．若S_{四邊形ABCD}=1，求S四邊形P2Q2Q3P3．
問題4：如圖4，P₁，P₂，P₃四等分邊AB，Q₁，Q₂，Q₃四等分邊DC，P₁Q₁，P₂Q₂，P₃Q₃將四邊形ABCD分成四個(gè)部分，面積分別為S₁，S₂，S₃，S₄．請直接寫出含有S₁，S₂，S₃，S₄的一個(gè)等式．

Answer 1

分析：問題1，圖1中，連接P₁R₂，R₂B，由三角形中線的性質(zhì)得S_△AP1R1=S_△P1R1R2，S_△P1R2P2=S_△P2R2B，再由R₁，R₂為AC的三等分點(diǎn)，得S_△BCR2=

1

2

S_△ABR2，根據(jù)圖形的面積關(guān)系，得S_△ABC與S_{四邊形P1P2R2R1}的數(shù)量關(guān)系，證明結(jié)論；
問題2，圖2中，連接AQ₁，Q₁P₂，P₂C，由三角形的中線性質(zhì)，得S_△AQ1P1=S_△P1Q1P2，S_△P2Q1Q2=S_△P2Q2C，由Q₁，P₂為CD，AB的三等分點(diǎn)可知，S_△ADQ1=

1

2

S_△AQ1C，S_△BCP2=

1

2

S_△AP2C，得出S_△ADQ1+S_△BCP2與S_{四邊形AQ1CP2}的關(guān)系，再根據(jù)圖形的面積關(guān)系，得S_{四邊形ABCD}與S_{四邊形P1Q1Q2P2}的等量關(guān)系；
問題3，圖3中，依次設(shè)四邊形的面積為S₁，S₂，S₃，S₄，S₅，由問題2的結(jié)論可推出2S₂=S₁+S₃，2S₃=S₂+S₄，2S₄=S₃+S₅，三式相加，得S₂+S₄=S₁+S₅，利用換元法求S₁+S₂+S₃+S₄+S₅與S₃的數(shù)量關(guān)系，已知S_{四邊形ABCD}=1，可求S_{四邊形P2Q2Q3P3}；
問題4，圖4中，由問題2的結(jié)論可知，2S₂=S₁+S₃，2S₃=S₂+S₄，兩式相加得S₁，S₂，S₃，S₄的等量關(guān)系．

解答：解：問題1，證明：
如圖1，連接P₁R₂，R₂B，在△AP₁R₂中，∵P₁R₁為中線，∴S_△AP1R1=S_△P1R1R2，
同理S_△P1R2P2=S_△P2R2B，
∴S_△P1R1R2+S_△P1R2P2=

1

2

S_△ABR2=S_{四邊形P1P2R2R1}，
由R₁，R₂為AC的三等分點(diǎn)可知，S_△BCR2=

1

2

S_△ABR2，
∴S_△ABC=S_△BCR2+S_△ABR2=S_{四邊形P1P2R2R1}+2S_{四邊形P1P2R2R1}=3S_{四邊形P1P2R2R1}，
∴S_{四邊形P1P2R2R1}=

1

3

S_△ABC；
問題2，S_{四邊形ABCD}=3S_{四邊形P1Q1Q2P2}．
理由：如圖2，連接AQ₁，Q₁P₂，P₂C，在△AQ₁P₂中，∵Q₁P₁為中線，
∴S_△AQ1P1=S_△P1Q1P2，同理S_△P2Q1Q2=S_△P2Q2C，
∴S_△P1Q1P2+S_△P2Q1Q2=

1

2

S_{四邊形AQ1CP2}=S_{四邊形P1Q1Q2P2}，
由Q₁，P₂為CD，AB的三等分點(diǎn)可知，S_△ADQ1=

1

2

S_△AQ1C，S_△BCP2=

1

2

S_△AP2C，
∴S_△ADQ1+S_△BCP2=

1

2

（S_△AQ1C+S_△AP2C）=

1

2

S_{四邊形AQ1CP2}，
∴S_{四邊形ABCD}=S_△ADC+S_△ABC=S_{四邊形AQ1CP2}+S_△ADQ1+S_△BCP2=3S_{四邊形P1Q1Q2P2}，
即S_{四邊形ABCD}=3S_{四邊形P1Q1Q2P2}；
問題3，解：
如圖3，由問題2的結(jié)論可知，3S₂=S₁+S₂+S₃，即2S₂=S₁+S₃，同理得2S₃=S₂+S₄，2S₄=S₃+S₅，
三式相加得，S₂+S₄=S₁+S₅，
∴S₁+S₂+S₃+S₄+S₅=2（S₂+S₄）+S₃=2×2S₃+S₃=5S₃，


即S_{四邊形P2Q2Q3P3}=

1

5

S_{四邊形ABCD}=

1

5

；
問題4，如圖4，關(guān)系式為：S₂+S₃=S₁+S₄．

點(diǎn)評：本題考查了三角形面積問題．關(guān)鍵是利用三角形的中線把三角形分為面積相等的兩個(gè)三角形的性質(zhì)進(jìn)行推理．