Question

【題目】先閱讀下題的解答過程，然后解答后面的問題，

已知多項式2x3﹣x2+m有一個因式是2x+1，求m的值

解法一：設2x3﹣x2+m＝x+m＝（2x+1）（x2+ax+b）

則2x3﹣x2+m＝2x3+（2a+1）x2+（a+2b）x+b

比較系數(shù)得，解得∴m＝．

解法二：設2x3﹣x2+m＝A（2x+1）（A為整式）

由于上式為恒等式，為方便計算取x＝，，故m＝

選擇恰當?shù)姆椒ń獯鹣铝懈黝}

（1）已知關于的多項式x2+mx﹣15有一個因式是x﹣3，m＝　 　．

（2）已知x4+mx3+nx﹣16有因式（x﹣1）和（x﹣2），求m、n的值：

（3）已知x2+2x+1是多項式x3﹣x2+ax+b的一個因式，求a，b的值，并將該多項式分解因式．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）m＝﹣5，n＝20；（3）a＝﹣5，b＝﹣3，該多項式分解因式為：x3﹣x2﹣5x﹣3＝（x﹣3）（x+1）2

【解析】

（1）根據(jù)多項式乘法將等式右邊展開有：x2+mx﹣15＝（x﹣3）（x+n）＝x2+（n﹣1）x﹣n，所以，根據(jù)等式兩邊對應項的系數(shù)相等可以求得m的值；

（2）設x4+mx3+nx﹣16＝A（x﹣1）（x﹣2）（A為整式），分別取x＝1和x＝2得關于m和n的二元一次方程組，求解即可；

（3）設x3﹣x2+ax+b＝（x+p）（x2+2x+1），將等式右邊展開，比較系數(shù)，得關于p，a，b的三元一次方程組，解方程組，再進行因式分解即可．

解：（1）由題設知：x2+mx﹣15＝（x﹣3）（x+n）＝x2+（n﹣3）x﹣3n，

故m＝n﹣3，﹣3n＝﹣15，

解得n＝5，m＝2．

故答案為：2；

（2）設x4+mx3+nx﹣16＝A（x﹣1）（x﹣2）（A為整式），

分別令x＝1和x＝2得：

，

解得：，

∴m＝﹣5，n＝20；

（3）設x3﹣x2+ax+b＝（x+p）（x2+2x+1），

∵（x+p）（x2+2x+1）

＝x3+（2+p）x2+（1+2p）x+p，

∴，

解得：，

∴多項式x3﹣x2+ax+b＝x3﹣x2﹣5x﹣3，

∴x3﹣x2﹣5x﹣3

＝（x﹣3）（x2+2x+1）

＝（x﹣3）（x+1）2，

∴a＝﹣5，b＝﹣3，該多項式分解因式為：x3﹣x2﹣5x﹣3＝（x﹣3）（x+1）2．