Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象相交于點(diǎn).過點(diǎn)作軸的垂線，分別交正比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)，交一次函數(shù)的圖象于點(diǎn)，連接.

（1）求這兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式；

（2）求的面積；

（3）在軸上是否存在一點(diǎn)，使為直角三角形？若存在，請直接寫出滿足條件的所有點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）， ；（2）14；（3），.

【解析】

（1）由點(diǎn)A的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出k、b的值，此題的解；

（2）由點(diǎn)P的坐標(biāo)可得出點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出BC的長度，由OP的長度結(jié)合三角形的面積公式即可求出△OBC的面積；
（3）假設(shè)存在，當(dāng)點(diǎn)M在x軸上時(shí)，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，0），假設(shè)存在，當(dāng)點(diǎn)M在x軸上時(shí)，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，0），因?yàn)?/span>為直角三角形，所以要分AO是直角邊和AO是斜邊兩種情況.根據(jù)圖形，利用勾股定理，求出m即可.

解：（1）∵正比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)，

∴，，

解得：，，

∴正比例函數(shù)表達(dá)式為；

一次函數(shù)表達(dá)式為.

（2）∵軸，，

∴把分別代入和中，

得：，，

∵.

又∵，

∴.

（3）假設(shè)存在，當(dāng)點(diǎn)M在x軸上時(shí)，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，0），

∵為直角三角形，
∴分AO是直角邊和AO是斜邊兩種情況.

∵

∴AO=

①當(dāng)AO是斜邊時(shí)，有AM=6,OM=m

則：

解得：m=±8，

當(dāng)m=-8不符合題意，故舍棄，
∴點(diǎn)；

②當(dāng)AO直角邊時(shí)，利用勾股定理可得AM2=62+（m-8）2,

∵ OM=m，AO=10

∴在Rt△OAM中，

則：

解得：m=±，

當(dāng)m=-不符合題意，故舍棄，
所以，.