Question

【題目】等邊△ABC的邊BC在射線BD上,動(dòng)點(diǎn)P在等邊△ABC的BC邊上（點(diǎn)P與BC不重合）,連接AP.

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)P作于E,并延長PE至N點(diǎn)，使得.①若,試求出AP的長度;

②連接CN,求證.

（2）如圖2，若點(diǎn)M是△ABC的外角的角平分線上的一點(diǎn)，且,求證:.

Answer 1

【答案】（1）①AP；②證明見解析；（2）證明見解析．

【解析】

（1）①根據(jù)點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)得AP⊥BC，再利用勾股定理即可求得答案；

②根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，證得∠NCE=∠PCE=，從而證得結(jié)論；

（2）作∠CBF=60°，BF與MC的延長線相交于點(diǎn)F，連接PF，證明△BFC是等邊三角形，證得△ABP△FBP，PM=PF，∠PMC=∠PFC，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得結(jié)論．

（1）①在等邊△ABC中，

∵點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，，

∴AP⊥BC，，

∴AP=；

②∵且，

∴點(diǎn)N與點(diǎn)P關(guān)于直線AC對(duì)稱，

∴∠NCE=∠PCE=，

∴∠NCD=180∠NCE∠PCE=，

∴∠NCD=∠B=，

∴；

（2）作∠CBF=60°，BF與MC的延長線相交于點(diǎn)F，連接PF，如圖：

∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60，
∴∠ACD=120，
∵CM平分∠ACD，
∴∠DCM=∠BCF=60，
∵∠CBF=60，
∴∠FBC=∠BCF=∠BFC=60，
∴△BFC是等邊三角形，

∵△ABC和△BFC都是等邊三角形，
∴AB=BC=BF，
在△ABP和△FBP中，，

∴△ABP△FBP，

∴AP=PF，∠BAP=∠BFP，
∵AP=PM，
∴PM=PF，
∴∠PMC=∠PFC，

∵∠MCD=∠PMC +∠CPM=60，
∠BFC=∠BFP+∠PFC=60，
∴∠CPM=∠BFP =∠BAP，
∵∠APC=∠ABC+∠BAP=∠APM+∠CPM，
∴∠APM=60．