【題目】如圖,分別以Rt△ABC的直角邊AC及斜邊AB向外作等邊△ACD及等邊△ABE.已知∠BAC=30°,EF⊥AB,垂足為F,連接DF.
(1)試說明AC=EF;
(2)求證:四邊形ADFE是平行四邊形.
【答案】
【1】∵△ABE是等邊三角形,
∴AB=AE,∠EAF=60,
又∵∠BAC=30,∠ACB=90,
∴∠ACB=60, ∴∠EAF=∠ACB,
又∵∠ACB="∠AEF=90" ,∴△ABC≌△EAF.
∴AC=EF.
【2】∵△ADC是等邊三角形,∴AD=AC,∠DAC=60,
∴AD= EF,
又∵∠CAB=30,∴∠DAB=90,
∵∠AEF="90" ,∴AD∥EF
∴四邊形ADFE是平行四邊形.
【解析】證明:(1)∵△ABE是等邊三角形,EF⊥AB,
∴∠AEF =∠AEB= 30,AE=AB,∠EFA= 90.
∵∠ACB= 90,∠BAC= 30,
∴∠EFA=∠ACB,∠AEF=∠BAC.
∴△AEF≌△BAC.
∴AC = EF.
(2)∵△ACD是等邊三角形,
∴AC = AD,∠DAC= 60.
由(1)的結論得AC = EF,
∴AD= EF.
∵∠BAC= 30,
∴∠FAD=∠BAC+∠DAC= 90.
∵∠EFA= 90,
∴EF∥AD.
∵EF=AD,
∴四邊形ADFE是平行四邊形.
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【題目】探索規(guī)律:觀察下面由※組成的圖案和算式,解答問題:
1+3=22=4
1+3+5=32=9
1+3+5+7=42=16
1+3+5+7+9=52=25
(1)猜想1+3+5+7+9+…+29= = ;
(2)猜想1+3+5+7+9+…+(2n﹣1)+(2n+1)= = ;
(3)用上述規(guī)律計算:41+43+45+…+77+79.
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【題目】如果關于x的不等式組 的整數(shù)解僅有1,2,那么適合這個不等式組的整數(shù)a,b組成的有序數(shù)對(a,b)共有個.
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【題目】以下四個命題:①一個多邊形的內(nèi)角和為900°,從這個多邊形同一個頂點可畫的對角線有4條;②三角形的三條高所在的直線的交點可能在三角形的內(nèi)部或外部;③多邊形的所有內(nèi)角中最多有3個銳角;④△ABC中,若∠A=2∠B=3∠C,則△ABC為直角三角形.其中真命題的是_______________.(填序號)
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【題目】某校將舉辦“心懷感恩孝敬父母”的活動,為此,校學生會就全校1 000名同學暑假期間平均每天做家務活的時間,隨機抽取部分同學進行調(diào)查,并繪制成如下條形統(tǒng)計圖.
(1)本次調(diào)查抽取的人數(shù)為 , 估計全校同學在暑假期間平均每天做家務活的時間在40分鐘以上(含40分鐘)的人數(shù)為;
(2)校學生會擬在表現(xiàn)突出的甲、乙、丙、丁四名同學中,隨機抽取兩名同學向全校匯報.請用樹狀圖或列表法表示出所有可能的結果,并求恰好抽到甲、乙兩名同學的概率.
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【題目】如圖,已知線段AB。
(1)用尺規(guī)作圖的方法作出線段AB的垂直平分線l(保留作圖痕跡,不要求寫出作法);
(2)在(1)中所作的直線l上任意取兩點M、N(線段AB的上方),連接AM、AN。BM、BN。
求證:∠MAN=∠MBN。
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【題目】雷達二維平面定位的主要原理是:測量目標的兩個信息―距離和角度,目標的表示方法為,其中,m表示目標與探測器的距離;表示以正東為始邊,逆時針旋轉后的角度.如圖,雷達探測器顯示在點A,B,C處有目標出現(xiàn),其中,目標A的位置表示為,目標C的位置表示為.用這種方法表示目標B的位置,正確的是( )
A. (-4, 150°) B. (4, 150°) C. (-2, 150°) D. (2, 150°)
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【題目】已知ABCD的周長為36cm,過點A作AE⊥BC,AF⊥CD,垂足分別為E、F.若AE=2cm,AF=4cm.求ABCD的各邊長.
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【題目】為保護環(huán)境,我市公交公司計劃購買A型和B型兩種環(huán)保節(jié)能公交車共10輛.若購買A型公交車1輛,B型公交車2輛,共需400萬元;若購買A型公交車2輛,B型公交車1輛,共需350萬元.
(1)求購買A型和B型公交車每輛各需多少萬元?
(2)預計在某線路上A型和B型公交車每輛年均載客量分別為60萬人次和100萬人次.若該公司購買A型和B型公交車的總費用不超過1200萬元,且確保這10輛公交車在該線路的年均載客總和不少于680萬人次,則該公司有哪幾種購車方案?
(3)在(2)的條件下,哪種購車方案總費用最少?最少總費用是多少萬元?
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