Question

24、如圖①，一個(gè)無(wú)蓋的正方體盒子的棱長(zhǎng)為10厘米，頂點(diǎn)C₁處有一只昆蟲(chóng)甲，在盒子的內(nèi)部頂點(diǎn)A處有一只昆蟲(chóng)乙．（盒壁的厚度忽略不計(jì)）
（1）假設(shè)昆蟲(chóng)甲在頂點(diǎn)C₁處?kù)o止不動(dòng)，如圖①，在盒子的內(nèi)部我們先取棱BB₁的中點(diǎn)E，再連接AE、EC₁．蟲(chóng)乙如果沿路徑A-E-C₁爬行，那么可以在最短的時(shí)間內(nèi)捕捉到昆蟲(chóng)甲．仔細(xì)體會(huì)其中的道理，并在圖①中畫(huà)出另一條路徑，使昆蟲(chóng)乙從頂點(diǎn)A沿這條路徑爬行，同樣可以在最短的時(shí)間內(nèi)捕捉到昆蟲(chóng)甲；（請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明畫(huà)法）
（2）如圖②，假設(shè)昆蟲(chóng)甲從頂點(diǎn)C₁，以1厘米/秒的速度在盒子的內(nèi)部沿棱C₁C向下爬行，同時(shí)昆蟲(chóng)乙從頂點(diǎn)A以2厘米/秒的速度在盒壁上爬行，那么昆蟲(chóng)乙至少需要多長(zhǎng)時(shí)間才能捕捉到昆蟲(chóng)甲？（精確到1秒）

Answer 1

分析：（1）當(dāng)相鄰兩個(gè)面放在同一平面內(nèi)時(shí)，過(guò)AC₁的線段必過(guò)公共棱的中點(diǎn)，按此方法，可畫(huà)出A，C₁所在的相鄰面的所有公共棱的中點(diǎn)；
（2）聯(lián)系（1）中的4個(gè)結(jié)論，分別畫(huà)出圖形，利用勾股定理求得兩點(diǎn)間的最短路線，進(jìn)而求解．

解答：解：（1）畫(huà)出圖①中A?E₂?C₁，A?E₃?C₁，A?E₄?C₁中任意一條路徑；（E₁、E₂、E₃分別為各棱中點(diǎn)）
（說(shuō)明：無(wú)畫(huà)法，扣2分）
（2）由（1）可知，當(dāng)昆蟲(chóng)甲從頂點(diǎn)C₁沿棱C₁C向頂點(diǎn)C爬行的同時(shí)，昆蟲(chóng)乙可以沿下列四種路徑中的任意一種爬行：

可以看出，圖②-1與圖②-2中的路徑相等，圖②-3與圖②-4中的路徑相等．
①設(shè)昆蟲(chóng)甲從頂點(diǎn)C₁沿棱C₁C向頂點(diǎn)C爬行的同時(shí)，昆蟲(chóng)乙從頂點(diǎn)A按路徑A→E→F爬行捕捉到昆蟲(chóng)甲需x秒鐘，
如圖②-1-1，在Rt△ACF中，
（2x）²=（10-x）²+20²，
解得x=10；
設(shè)昆蟲(chóng)甲從頂點(diǎn)C₁沿棱C₁C向頂點(diǎn)C爬行的同時(shí)，昆蟲(chóng)乙從頂點(diǎn)A按路徑A→E₂→F爬行捕捉到昆蟲(chóng)甲需y秒鐘，
如圖②-1-2，在Rt△ABF中，
（2y）²=（20-y）²+10²，
解得y≈8；
所以昆蟲(chóng)乙從頂點(diǎn)A爬行捕捉到昆蟲(chóng)甲至少需8秒鐘．
[說(shuō)明]未考慮到A→E→F和圖④中其它路徑，而直接按路徑A→E→F（或A→E→F）計(jì)算，并求出正確答案的不扣分．

點(diǎn)評(píng)：立體圖形中的最短距離，通常要轉(zhuǎn)換為平面圖形的兩點(diǎn)間的線段長(zhǎng)來(lái)進(jìn)行解決．