Question

【題目】如圖，Rt△OAB如圖所示放置在平面直角坐標(biāo)系中，直角邊OA與x軸重合，∠OAB=90°，OA=4，AB=2，把Rt△OAB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)C的位置，拋物線y=ax2+bx經(jīng)過點(diǎn)C、A.

（1）求該拋物線的解析式；

（2）在x軸上方的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P，過點(diǎn)P作x軸的平行線交拋物線于點(diǎn)M，分別過點(diǎn)P，點(diǎn)M作x軸的垂線，交x軸于R、S兩點(diǎn)，問：四邊形PRSM的周長(zhǎng)是否有最大值？如果有，請(qǐng)求出最值，并寫出解答過程；如果沒有，請(qǐng)說明理由．

（3）在x軸上方的拋物線上是否存在點(diǎn)Q,過點(diǎn)Q作x軸的垂線，垂足為H,使得以O、Q、H為頂點(diǎn)的三角形與OAB相似，如果存在，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，如果不存在，請(qǐng)說明理由。

Answer 1

【答案】（1）；（2）有，最大值為10，過程略；（3）存在，Q1(2,4)；Q2 ().

【解析】

（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可求出C的坐標(biāo)和A的坐標(biāo)，又因?yàn)閽佄锞�經(jīng)過原點(diǎn)，故設(shè)y=ax2+bx把（2，4），（4，0）代入，求出a和b的值即可求出該拋物線的解析式；

（2）四邊形PRSM的周長(zhǎng)有最大值，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（a，-a2+4a）則由拋物線的對(duì)稱性知OR=AS，所以RS=PM=4-2a，PR=MS=-a2+4a，則矩形PRSM的周長(zhǎng)L=2[4-2a+（-a2+4a）]=-2（a-1）2+10，利用函數(shù)的性質(zhì)即可求出四邊形PRSM的周長(zhǎng)的最大值．

（3）分別計(jì)算△OHQ∽△BAO和△OHQ∽△OAB時(shí)Q點(diǎn)的坐標(biāo)，分析后即可解答.

解：（1）∵OA=4，AB=2，△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)C的位置，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，4）．

又∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，故設(shè)y=ax2+bx（a≠0），把（2，4），（4，0）代入，得 ，

解得，所以拋物線的解析式為y=-x2+4x；

（2）有最大值．如圖，

理由如下：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（a，-a2+4a），PR=MS=-a2+4a，

則由拋物線的對(duì)稱性知OR=AS，所以RS=PM=4-2a，

則矩形PRSM的周長(zhǎng)L=2[4-2a+（-a2+4a）]=-2（a-1）2+10，

所以當(dāng)a=1時(shí)，矩形PRSM的周長(zhǎng)有最大值，Lmax=10．

（3）設(shè)H點(diǎn)坐標(biāo)為（n，0）,則OH=n，QH=-n+4n，

①假設(shè)△OHQ∽△BAO，則 ,

可得，解得=2，=0（舍去），

代入可得Q點(diǎn)坐標(biāo)為（2，4）；

②假設(shè)△OHQ∽△OAB，則,

，解得= ，=0（舍去），

代入可得Q點(diǎn)坐標(biāo)為（，）；

綜上所述Q點(diǎn)坐標(biāo)為（2，4）或（，）.