Question

已知，在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，動點M從點A出發(fā)沿邊AD向點D運動．

（1）如圖1，當b=2a，點M運動到邊AD的中點時，請證明∠BMC=90°；

（2）如圖2，當b＞2a時，點M在運動的過程中，是否存在∠BMC=90°，若存在，請給與證明；若不存在，請說明理由；

（3）如圖3，當b＜2a時，（2）中的結(jié)論是否仍然成立？請說明理由．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；根的判別式；矩形的性質(zhì)。

解答：（1）證明：∵b=2a，點M是AD的中點，

∴AB=AM=MD=DC=a，

又∵在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，

∴∠AMB=∠DMC=45°，

∴∠BMC=90°．

（2）解：存在，

理由：若∠BMC=90°，

則∠AMB=∠DMC=90°，

又∵∠AMB+∠ABM=90°，

∴∠ABM=∠DMC，

又∵∠A=∠D=90°，

∴△ABM∽△DMC，

∴=，

設(shè)AM=x，則=，

整理得：x²﹣bx+a²=0，

∵b＞2a，a＞0，b＞0，

∴△=b²﹣4a²＞0，

∴方程有兩個不相等的實數(shù)根，且兩根均大于零，符合題意，

∴當b＞2a時，存在∠BMC=90°，

（3）解：不成立．

理由：若∠BMC=90°，

由（2）可知x²﹣bx+a²=0，

∵b＜2a，a＞0，b＞0，

∴△=b²﹣4a²＜0，

∴方程沒有實數(shù)根，

∴當b＜2a時，不存在∠BMC=90°，即（2）中的結(jié)論不成立．