Question

已知平行四邊形ABCD，點F為線段BC上一點（端點B，C除外），連接AF，AC，連接DF，并延長DF交AB的延長線于點E，連接CE．
（1）當F為BC的中點時，求證△EFC與△ABF的面積相等；
（2）當F為BC上任意一點時，△EFC與△ABF的面積還相等嗎？說明理由．

Answer 1

分析：（1）首先表示出S_△EFC與S_△ABF，面積，再利用△EFC與△ABF的面積相等且當F為BC的中點，所以必須證明h=h′，而h=ABsin∠ABC，h′=EBsin∠ABC，所以證明方向轉(zhuǎn)化為求證EB=AB，而EB=CD，可利用證△EBF≌△DCF來解答，因此便可求證所求；
（2）由于△ABC和△CDE為等底等高三角形，所以S_△ABC=S_△CDE，又因為△ACF和△CDF同底等高，所以S_△AFC=S_△CDF．即可得出S_△ABC-S_△AFC=S_△CDE-S_△CDF，即S_△ABF=S_△EFC．

解答：解：（1）證明：∵點F為BC的中點，
∴BF=CF=

1

2

BC，
又∵BF∥AD，
∴BE=AB，
∴A，E兩點到BC的距離相等，都為ABsin∠ABC，

則S_△ABF=

1

2

•BF×ABsin∠ABC，
S_△EFC=

1

2

•FC•h₁，
∵h₁=ABsin∠ABC，BF=CF，
∴S_△ABF=S_△EFC；

（2）當F為BC上任意一點時，
設(shè)BF=x，則FC=BC-x，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴

BF

AD

=

BE

BE+AB

，
∴

x

BC

=

BE

BE+AB

，
∴BE=

ABx

BC-x

，
在△EFC中，F(xiàn)C邊上的高h₁=BEsin∠ABC，
∴h₁=

ABx

BC-x

sin∠ABC，
∴S_△EFC=

1

2

FC×h₁=

1

2

（BC-x）×

ABx

BC-x

sin∠ABC=

1

2

ABxsin∠ABC，
又在△ABF中，BF邊上的高h₂=ABsin∠ABC，
∴S_△ABF=

1

2

ABxsin∠ABC，
∴S_△ABF=S_△EFC．

點評：此題考查了平行四邊形的基本性質(zhì)和三角形全等的判定以及三角形面積求法等知識，正確的表示出各三角形的面積是解決問題的關(guān)鍵．