Question

（2012•資陽）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，交AC于點E，連接DE，過點B作BP平行于DE，交⊙O于點P，連接EP、CP、OP．
（1）BD=DC嗎？說明理由；
（2）求∠BOP的度數(shù)；
（3）求證：CP是⊙O的切線；
如果你解答這個問題有困難，可以參考如下信息：
為了解答這個問題，小明和小強做了認(rèn)真的探究，然后分別用不同的思路完成了這個題目．在進行小組交流的時候，小明說：“設(shè)OP交AC于點G，證△AOG∽△CPG”；小強說：“過點C作CH⊥AB于點H，證四邊形CHOP是矩形”．

Answer 1

分析：（1）連接AD，由圓周角定理可知∠ADB=90°，再由AB=AC可知△ABC是等腰三角形，故BD=DC；
（2）由于AD是等腰三角形ABC底邊上的中線，所以∠BAD=∠CAD，故

BD

=

DE

，進而可得出BD=DE，故BD=DE=DC，
所以∠DEC=∠DCE，△ABC中由等腰三角形的性質(zhì)可得出∠ABC=75°，故∠DEC=75°由三角形內(nèi)角和定理得出∠EDC的度數(shù)，再根據(jù)BP∥DE可知∠PBC=∠EDC=30°，進而得出∠ABP的度數(shù)，再由OB=OP，可知∠OBP=∠OPB，由三角形內(nèi)角和定理即可得出∠BOP=90°；
（3）設(shè)OP交AC于點G，由∠BOP=90°可知∠AOG=90°在Rt△AOG中，由∠OAG=30°，可知

OG

AG

=

1

2

，由于

OP

AC

=

OP

AB

=

1

2

，所以

OP

AC

=

OG

AG

，

OG

AG

=

GP

GC

，再根據(jù)∠AGO=∠CGP可得出△AOG∽△CPG，由相似三角形形的性質(zhì)可知∠GPC=∠AOG=90°，故可得出CP是⊙O的切線．

解答：（1）解：BD=DC．
連接AD，如圖1，
∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°，
∵AB=AC，
∴BD=DC；

（2）解：∵AD是等腰三角形ABC底邊上的中線，
∴∠BAD=∠CAD，
∴

BD

=

DE

，
∴BD=DE，
∴BD=DE=DC，
∴∠DEC=∠DCE，
∵△ABC中，AB=AC，∠A=30°
∴∠DCE=∠ABC=

1

2

（180°-30°）=75°，
∴∠DEC=75°
∴∠EDC=180°-75°-75°=30°
∵BP∥DE，
∴∠PBC=∠EDC=30°，
∴∠ABP=∠ABC-∠PBC=75°-30°=45°
∵OB=OP，
∴∠OBP=∠OPB=45°，
∴∠BOP=90°；


（3）證明：證法一：
∵設(shè)OP交AC于點G，則∠AOG=∠BOP=90°
∴OP⊥AB
在Rt△AOG中，
∵∠OAG=30°，
∴

OG

AG

=

1

2

，
又∵

OP

AC

=

OP

AB

=

1

2

，
∴

OP

AC

=

OG

AG

，
∴

OG

AG

=

GP

GC

，
又∵∠AGO=∠CGP
∴△AOG∽△CPG，
∴∠GPC=∠AOG=90°，
∴CP是⊙O的切線．
證法二：過點C作CH⊥AB于點H，如圖2，則∠BOP=∠BHC=90°，
∴PO∥CH
在Rt△AHC中，
∵∠HAC=30°，
∴CH=

1

2

AC，
又∵PO=

1

2

AB=

1

2

AC，
∴PO=CH，
∴四邊形CHOP是平行四邊形
∵CH⊥AB，
∴四邊形CHOP是矩形，
又∵點P在圓O上，
∴∠OPC=90°，即OP⊥PC，
∴CP是⊙O的切線．

點評：本題考查的是切線的判定定理、等腰三角形的性質(zhì)、圓周角定理及相似三角形的判定與性質(zhì)，在判定圓的切線時構(gòu)造直角三角形，再利用直角三角形的性質(zhì)去證明過圓心的直線與切線垂直．