Question

【題目】已知：如圖，拋物線y=x2﹣2x﹣3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，該拋物線的頂點(diǎn)為M．

（1）求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)．

（2）求直線BM的函數(shù)解析式．

（3）試說明：∠CBM+∠CMB=90°．

（4）在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使直線CP把△BCM分成面積相等的兩部分？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)B（3，0），點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，﹣3）；（2）y=2x﹣6；（3）證明見解析；（4）點(diǎn)P坐標(biāo)為（，﹣）.

【解析】

（1）根據(jù)題意可以直接可求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；

（2）用待定系數(shù)法可求解析式；

（3）根據(jù)兩點(diǎn)距離公式可求BM，BC，CM的長(zhǎng)度，根據(jù)勾股定理的逆定理可得∠BCM=90°，即可證：∠CBM+∠CMB=90°；

（4）根據(jù)題意可求線段BM中點(diǎn)坐標(biāo)，即可求直線CP解析式，且點(diǎn)P在拋物線上，可列方程，即可求點(diǎn)P坐標(biāo)．

（1）∵拋物線y=x2﹣2x﹣3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，∴0=x2﹣2x﹣3，∴x1=3，x2=﹣1，∴點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)B（3，0）．

∵拋物線y=x2﹣2x﹣3與y軸交于點(diǎn)C，∴當(dāng)x=0時(shí)，y=﹣3，∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，﹣3）；

（2）∵拋物線y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴點(diǎn)M（1，﹣4）．

設(shè)直線BM的解析式：y=kx+b過點(diǎn)B（3，0），M（1，﹣4），∴

解得：k=2，b=﹣6．

∴直線BM的解析式：y=2x﹣6．

（3）∵點(diǎn)M（1，﹣4），點(diǎn)B（3，0），點(diǎn)C（0，﹣3），∴BC==3

BM==2

CM==

∵BC2+CM2=20，BM2=20，∴BC2+CM2=BM2，∴∠BCM=90°，∴∠CBM+∠CMB=90°．

（4）如圖：設(shè)直線CP與BM的交點(diǎn)為F．

∵直線CP把△BCM分成面積相等的兩部分，∴S△CMF=S△BCF．

∵△CMF和△BCF是等高的兩個(gè)三角形，∴FM=BF，即點(diǎn)F是BM的中點(diǎn)．

∵點(diǎn)B（3，0），點(diǎn)M（1，﹣4），∴點(diǎn)F坐標(biāo)為（2，﹣2）．

設(shè)直線CP的解析式為y=mx+n，∴

解得：m=，n=﹣3

∴直線CP解析式y=x﹣3．

∵點(diǎn)P是直線CP與拋物線y=x2﹣2x﹣3的交點(diǎn)，∴x﹣3=x2﹣2x﹣3

解得：x1=0（不合題意舍去），x2=．

當(dāng)x=時(shí)，y=﹣2×=﹣，∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（，﹣）．