Question

16．如圖，正方形ABCD的四個頂點分別在正方形EFGH的四條邊上，我們稱正方形EFGH是正方形ABCD的外接正方形．
探究一：已知邊長為1的正方形ABCD，是否存在一個外接正方形EFGH，它的面積是正方形ABCD面積的2倍？如圖，假設存在正方形EFGH，它的面積是正方形ABCD的2倍．
因為正方形ABCD的面積為1，則正方形EFGH的面積為2，
所以EF=FG=GH=HE=$\sqrt{2}$，設EB=x，則BF=$\sqrt{2}$-x，
∵Rt△AEB≌Rt△BFC
∴BF=AE=$\sqrt{2}$-x
在Rt△AEB中，由勾股定理，得
x²+（$\sqrt{2}$-x）²=1²
解得，x₁=x₂=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
∴BE=BF，即點B是EF的中點．
同理，點C，D，A分別是FG，GH，HE的中點．
所以，存在一個外接正方形EFGH，它的面積是正方形ABCD面積的2倍
探究二：已知邊長為1的正方形ABCD，是否存在一個外接正方形EFGH，它的面積是正方形ABCD面積的3倍？（仿照上述方法，完成探究過程）
探究三：已知邊長為1的正方形ABCD，不存在一個外接正方形EFGH，它的面積是正方形ABCD面積的4倍？（填“存在”或“不存在”）
探究四：已知邊長為1的正方形ABCD，是否存在一個外接正方形EFGH，它的面積是正方形ABCD面積的n倍？（n＞2）（仿照上述方法，完成探究過程）

Answer 1

分析 探究二，根據探究一的解答過程、運用一元二次方程計算即可；
探究三，根據探究一的解答過程、運用一元二次方程根的判別式解答；
探究四，根據探究一的解答過程、運用一元二次方程根的判別式解答．

解答 解：探究二：因為正方形ABCD的面積為1，則正方形EFGH的面積為3，
所以EF=FG=GH=HE=$\sqrt{3}$，設EB=x，則BF=$\sqrt{3}$-x，
∵Rt△AEB≌Rt△BFC
∴BF=AE=$\sqrt{3}$-x
在Rt△AEB中，由勾股定理，得
x²+（$\sqrt{3}$-x）²=1²
整理得x²-$\sqrt{3}$x+1=0
b²-4ac=3-4＜0，
此方程無解，
不存在一個外接正方形EFGH，它的面積是正方形ABCD面積的3倍；
探究三：因為正方形ABCD的面積為1，則正方形EFGH的面積為4，
所以EF=FG=GH=HE=2，設EB=x，則BF=2-x，
∵Rt△AEB≌Rt△BFC
∴BF=AE=2-x
在Rt△AEB中，由勾股定理，得
x²+（2-x）²=1²
整理得2x²-4x+3=0
b²-4ac=16-24＜0，
此方程無解，
不存在一個外接正方形EFGH，它的面積是正方形ABCD面積的3倍，
故答案為：不存在；
探究四：因為正方形ABCD的面積為1，則正方形EFGH的面積為n，
所以EF=FG=GH=HE=$\sqrt{n}$，設EB=x，則BF=$\sqrt{n}$-x，
∵Rt△AEB≌Rt△BFC
∴BF=AE=$\sqrt{n}$-x
在Rt△AEB中，由勾股定理，得
x²+（$\sqrt{n}$-x）²=1²
整理得2x²-2$\sqrt{n}$x+n-1=0
b²-4ac=8-4n＜0，
此方程無解，
不存在一個外接正方形EFGH，它的面積是正方形ABCD面積的n倍．

點評 本題考查的是正方形的性質、全等三角形的判定和性質以及一元二次方程的解法，讀懂探究一的解答過程、正確運用一元二次方程根的判別式是解題的關鍵．