Question

已知：正方形的邊長(zhǎng)為1．
（1）如圖1，可以算出一個(gè)正方形的對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)為

2

，求兩個(gè)正方形并排拼成的矩形的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)，并猜想出n個(gè)正方形并排拼成的矩形的對(duì)角線(xiàn)；
（2）根據(jù)圖2，求證：△BCE∽△BED；
（3）由圖3，在下列所給的三個(gè)結(jié)論中，選出一個(gè)正確的結(jié)論加以證明：
①∠BEC+∠BDE=45°；
②∠BEC+∠BED=45°；
③∠BEC+∠DFE=45°．

Answer 1

分析：（1）由于是矩形，其對(duì)角線(xiàn)與兩邊恰好構(gòu)成直角三角形，利用勾股定理便可以求對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)．
（2）利用三角形的相似的判定定理就可求證．
（3）利用相似性求出相等的角，代替要求的角看是否正確．

解答：解：（1）如圖1所示：
∵兩個(gè)正方形拼成的矩形的長(zhǎng)AC=2，寬AE=1
∴此時(shí)對(duì)角線(xiàn)EC=

AC2+AE2

=

22+12

=

5

∴同理，n個(gè)正方形組成的矩形的長(zhǎng)為n，寬為1，
對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為

n2+1

．

（2）如圖2所示，由題意可得：BE=

2

，BD=2，BC=1
∴

BE

BD

=

BC

BE

=

2

2

．
又∵∠CBE=∠EBD，
∴△BCE∽△BED．

（3）證明：②∠BEC+∠BED=45°．
由（2）證明出：△BCE∽△BED，
∴∠BEC=∠BDE．
由平行線(xiàn)定理可知：∠BDE=∠DEF，
∴∠BEC+∠BED=∠BDE+∠BED=∠DEF+∠BED=∠BEF=45°成立．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查判定三角形的相似和利用相似三角形的性質(zhì)求解．