Question

【題目】如圖，在中，，，，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，且．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)．沿射線以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)．以、為鄰邊作．設(shè)和重疊部分圖形的面積為（平方單位），點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（秒）．

（1）連結(jié)，求的長(zhǎng)．

（2）當(dāng)為菱形時(shí)，求的值．

（3）求與之間的函數(shù)關(guān)系式．

（4）將線段沿直線翻折得到線段．當(dāng)點(diǎn)落在的邊上時(shí)，直接寫出的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）或．

【解析】

（1）如圖（見(jiàn)解析），先根據(jù)勾股定理求出AB的長(zhǎng)，再根據(jù)平行線的判定得出，然后根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得，從而可得，，最后在中利用勾股定理即可得；

（2）如圖（見(jiàn)解析），先根據(jù)菱形的性質(zhì)得出，，再根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得，求解即可得；

（3）先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，再找出兩個(gè)臨界位置：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)F時(shí)和當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)A時(shí)，然后分別根據(jù)平行四邊形、直角梯形的面積公式即可得；

（4）分①點(diǎn)落在AB邊上和②點(diǎn)落在BC邊上兩種情況，①先利用折疊的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)得出，再根據(jù)直角三角形全等的判定定理與性質(zhì)得出，然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等量代換得出，從而可得，最后根據(jù)菱形的判定可得平行四邊形CPDE是菱形，由（2）的結(jié)論即可得；②先根據(jù)折疊的性質(zhì)得出平分，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，然后根據(jù)（1）得出，從而可得，最后根據(jù)的面積公式列出等式求解即可．

（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)

在中，

，

在中，

；

（2）如圖2，當(dāng)平行四邊形為菱形時(shí)

由菱形的性質(zhì)得：，

又

或（不符題意，舍去）

故的值為；

（3）四邊形CPDE是平行四邊形

，即

由題意，有兩個(gè)臨界位置，即當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)F時(shí)，所需時(shí)間為（秒）；當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)A時(shí)，所需時(shí)間為（秒）

因此，分以下三種情況：

①如圖3-1，當(dāng)時(shí)

②如圖3-2，當(dāng)時(shí)，此時(shí)四邊形CPDG為直角梯形，

③如圖3-3，當(dāng)時(shí)，此時(shí)四邊形CADG為直角梯形

綜上，與之間的函數(shù)關(guān)系式為；

（4）由題意，分以下兩種情況：

①如圖4-1，點(diǎn)落在AB邊上

延長(zhǎng)CE交AB于點(diǎn)H

由折疊的性質(zhì)可知，，平分

（等腰三角形的三線合一）

，即

解得

在和中，

四邊形CPDE是平行四邊形

平行四邊形CPDE是菱形

由（2）可知，此時(shí)

②如圖4-2，點(diǎn)落在BC邊上

過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)N，延長(zhǎng)DE交BC于點(diǎn)M，則

由折疊的性質(zhì)可知，平分，則

由（1）可知，

解得

綜上，所求的t的值為或．