Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx－3過A(－1，0)、B(3，0)，直線AD交拋物線于點(diǎn)D，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為2，點(diǎn)P(m，n)是線段AD上的動(dòng)點(diǎn)．

（1）求直線AD及拋物線的解析式．

（2）過點(diǎn)P的直線垂直于x軸，交拋物線于點(diǎn)H，求線段PH的長度l與m的關(guān)系式，m為何值時(shí)，PH最長？

（3）在平面內(nèi)是否存在整點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù)）E，使得P、H、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x﹣1；y=x2﹣2x﹣3；（2）l=-(m-)2+；；（3）存在；(2，﹣2)或(2，﹣4)或(2，﹣1)或(2，﹣5)或(0，﹣3)或(﹣2，﹣1)

【解析】

（1）將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式，建立關(guān)于a、b的方程組，解方程組求出a、b的值，就可得出拋物線的解析式；再將x=2代入拋物線求出對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，得出點(diǎn)D的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線AD的函數(shù)解析式；

（2）利用兩函數(shù)解析式，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(m，﹣m﹣1)，H(m，m2﹣2m﹣3)，再列出l與m的函數(shù)解析式，將其函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，可求得結(jié)果；

（3）利用二次函數(shù)的對(duì)稱性，可得出點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，即可得出點(diǎn)E的坐標(biāo)，再根據(jù)（2）可知PH的長是正整數(shù)，DE平行且等于PH，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為2，可知PH=1或2，再分情況討論分別求出點(diǎn)E的坐標(biāo)．

（1）把A(－1，0)、B(3，0)代入函數(shù)解析式，可求得拋物線的表達(dá)式為：y=x2﹣2x﹣3；

當(dāng)x=2時(shí)，y=22﹣2×2﹣3，解得：y=﹣3，即D(2，﹣3)．

設(shè)AD的解析式為y=kx+b，將A(－1，0)，D(2，﹣3)代入，可得直線AD的解析式為y=﹣x﹣1；

（2）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(m，﹣m﹣1)，H(m，m2﹣2m﹣3)，l=(﹣m﹣1)﹣(m2﹣2m﹣3)，化簡(jiǎn)，得：l=﹣m2+m+2，配方，得：l=-(m-)2+，∴當(dāng)m=時(shí)，l=，所以m為時(shí)，PH最長為．

（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到對(duì)稱軸上時(shí)，則點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，點(diǎn)C在拋物線y=x2﹣2x﹣3上，∴當(dāng)x=0時(shí)，y=-3，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，-3）．

∵PH的長是正整數(shù)及由（2）可知，DE∥PH，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為2，PH=1或2．

當(dāng)PH=1時(shí)，則DE=1，∴-3+1=-2；-3-1=-4，∴點(diǎn)E（2，-2）或（2，-4）；

當(dāng)PH=2時(shí)，則DE=2，∴-3+2=-1；-3-2=-5，∴點(diǎn)E（2，-1）（2，-5）．

同理可得點(diǎn)E（-2，-1）．

綜上所述：存在滿足E的點(diǎn)，它的坐標(biāo)為(2，﹣2)或(2，﹣4)或(2，﹣1)或(2，﹣5)或(0，﹣3)或(﹣2，﹣1)．