Question

已知：如圖，矩形ABCD，AB = 4，∠ACB = 30°．點(diǎn)E從點(diǎn)C出發(fā)，沿折線CA—AD以每秒一個單位長度的速度運(yùn)動，過點(diǎn)E作EF∥CD交BC于點(diǎn)F，同時過點(diǎn)E作EG⊥AC交直線BC于點(diǎn)G，設(shè)運(yùn)動的時間為t，△EFG與△ABC重疊部分的面積為S，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動到點(diǎn)D時停止運(yùn)動．

（1）當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)G重合時，求此時t的值；
（2）直接寫出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式和相應(yīng)的自變量取值范圍；
（3）當(dāng)t = 4時，將△EFG繞點(diǎn)E順時針旋轉(zhuǎn)一個角度（），∠GEF的兩邊分別交矩形的邊于點(diǎn)M，點(diǎn)N．當(dāng)△MEN為等腰三角形時，求此時△MEN的面積．

Answer 1

（1）6或；（2）；
（3）或．

試題分析：（1）分當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)G第一次重合時，當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)G第二次重合時，兩種情況結(jié)合圖形特征求解；
（2）分，，，，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)與三角形、梯形的面積公式求解即可；
（3）分①當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為30°時，②當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為75°時，這兩種情況，分別畫出圖形，根據(jù)勾股定理及三角形的面積公式求解即可.
（1）當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)G第一次重合時，t=6
當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)G第二次重合時，t=；
（2）由題意得；
（3）①當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為30°時，


∴；
②當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為75°時，
作EH⊥AB于H，MG⊥AE于G

，AH=2
設(shè)
則，又∵ GE=EH=
∴
∴
解得：
∴

綜上所述，△MNE的面積為或．
點(diǎn)評：此類問題綜合性強(qiáng)，難度較大，在中考中比較常見，一般作為壓軸題，題目比較典型．