Question

【題目】如圖，⊙與菱形在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在軸上，且點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)．

（）求菱形的周長．

（）若⊙沿軸向右以每秒個單位長度的速度平移，菱形沿軸向左以每秒個單位長度的速度平移，設(shè)菱形移動的時(shí)間為（秒），當(dāng)⊙與相切，且切點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，連接，求的值及的度數(shù)．

（）在（）的條件下，當(dāng)點(diǎn)與所在的直線的距離為時(shí)，求的值．

Answer 1

【答案】（1）菱形的周長為8；（2）， ；（3）

【解析】試題分析：（1）過點(diǎn)B作BE⊥AD，垂足為E．由點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)可知：BE=，AE=1，依據(jù)勾股定理可求得AB的長，從而可求得菱形的周長；（2）記 M與x軸的切線為F，AD的中點(diǎn)為E．先求得EF的長，然后根據(jù)路程=時(shí)間×速度列出方程即可；平移的圖形如圖3所示：過點(diǎn)B作BE⊥AD，垂足為E，連接MF，F(xiàn)為 M與AD的切點(diǎn)．由特殊銳角三角函數(shù)值可求得∠EAB=60°，依據(jù)菱形的性質(zhì)可得到∠FAC=60°，然后證明△AFM是等腰直角三角形，從而可得到∠MAF的度數(shù)，故此可求得∠MAC的度數(shù)；（3）如圖4所示：連接AM，過點(diǎn)作MN⊥AC，垂足為N，作ME⊥AD，垂足為E．先求得∠MAE=30°，依據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值可得到AE的長，然后依據(jù)3t+2t=5-AE可求得t的值；如圖5所示：連接AM，過點(diǎn)作MN⊥AC，垂足為N，作ME⊥AD，垂足為E．依據(jù)菱形的性質(zhì)和切線長定理可求得∠MAE=60°，然后依據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值可得到EA=，最后依據(jù)3t+2t=5+AE．列方程求解即可．

試題解析：（ ）如圖1所示：過點(diǎn)作，垂足為，

∵， ，

∴， ，

∴，

∵四邊形為菱形，

∴，

∴菱形的周長．

（）如圖2所示，⊙與軸的切線為， 中點(diǎn)為，

∵，

∴，

∵，且為中點(diǎn)，

∴， ，

∴，

解得．

平移的圖形如圖3所示：過點(diǎn)作，

垂足為，連接， 為⊙與切點(diǎn)，

∵由（）可知， ， ，

∴，

∴，

∴，

∵四邊形是菱形，

∴，

∵為切線，

∴，

∵為的中點(diǎn)，

∴，

∴是等腰直角三角形，

∴，

∴．

（）如圖4所示：連接，過點(diǎn)作，垂足為，作，垂足為，

∵四邊形為菱形， ，

∴．

∵、是圓的切線

∴，

∵。

∴，

∴，

∴．

如圖5所示：連接，過點(diǎn)作，垂足為，作，垂足為，

∵四邊形為菱形， ，

∴，

∴，

∵、是圓的切線，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴．

綜上所述，當(dāng)或時(shí)，圓與相切．