Question

如圖1，已知直線y=-

1

2

x與拋物線y=-

1

4

x²+6交于A，B兩點(diǎn)．
（1）求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求線段AB的垂直平分線的解析式；
（3）如圖2，取與線段AB等長的一根橡皮筋，端點(diǎn)分別固定在A，B兩處．用鉛筆拉著這根橡皮筋使筆尖P在直線AB上方的拋物線上移動，動點(diǎn)P將與A，B構(gòu)成無數(shù)個(gè)三角形，這些三角形中是否存在一個(gè)面積最大的三角形？如果存在，求出最大面積，并指出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請簡要說明理由．

Answer 1

分析：（1）聯(lián)立兩函數(shù)的解析式即可求出A、B點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）可作AB的垂直平分線設(shè)其與x軸，y軸的交點(diǎn)分別為C、D，與AB的交點(diǎn)為M，可根據(jù)△BEO∽△OCM求出OC的長，同理可求出OD的長，即可得出C、D的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法即可求出AB垂直平分線的解析式．（另一種解法，可根據(jù)A、B的坐標(biāo)得出AB中點(diǎn)的坐標(biāo)，先求出直線AB的解析式，由于AB的垂直平分線與AB垂直，因此它的斜率與AB的斜率的乘積為-1，由此可得出所求直線的斜率，然后將中點(diǎn)坐標(biāo)代入即可求出其解析式．）
（3）要使三角形ABP的面積最大，那么P到AB的距離就最大，因此P點(diǎn)必在與直線AB平行且與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)的一次函數(shù)上（設(shè)此直線與x軸，y軸的交點(diǎn)為G、H），據(jù)此可求出此直線的解析式和P點(diǎn)的坐標(biāo)．然后可通過在三角形OHG中，根據(jù)面積的不同表示方法求出P點(diǎn)到AB的距離（即O到GH的距離），進(jìn)而可求出三角形ABP的面積．

解答：解：（1）依題意得

y=- 1 4 x2+6 y=- 1 2 x

解之得

x1=6 y1=-3

x2=-4 y2=2

∴A（6，-3），B（-4，2）

（2）作AB的垂直平分線交x軸，y軸于C，D兩點(diǎn)，交AB于M（如圖1），
由（1）可知：OA=3

5

，OB=2

5

∴AB=5

5

1

2

AB-OB=

5

2

過B作BE⊥x軸，E為垂足
由“△BEO∽△CMO，得：

OC

OB

=

OM

OE

，
∴OC=

5

4

同理：OD=

5

2

，
∴C（

5

4

，0），D（0，-

5

2

）
設(shè)CD的解析式為y=kx+b（k≠0）
∴

0= 5 4 k+b - 5 2 =b

∴

k=2 b=- 5 2

∴AB的垂直平分線的解析式為：y=2x-

5

2

．

（3）若存在點(diǎn)P使△APB的面積最大，則點(diǎn)P在與直線AB平行且和拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線
y=-

1

2

x+m上，并設(shè)該直線與x軸，y軸交于G，H兩點(diǎn)（如圖2）．
∴

y=- 1 2 x+m y=- 1 4 x2+6

∴

1

4

x²-

1

2

x+m-6=0
∵拋物線與直線只有一個(gè)交點(diǎn)，
∴△=（-

1

2

）²-4×

1

4

（m-6）=0，
∴m=

25

4

，
故

1

4

x²-

1

2

x+

1

4

=0，即（x-1）²=0，
解得：x=1，
將x=1代入y=-

1

2

+

25

4

得：y=

23

4

，
∴P（1，

23

4

）
在直線GH：y=-

1

2

x+

25

4

中，
∴G（

25

2

，0），H（0，

25

4

）
∴GH=

25

4

5

設(shè)O到GH的距離為d，
∵

1

2

GH•d=

1

2

OG•OH
∵

1

2

×

25 5

4

d=

1

2

×

25

2

×

25

4

∴d=

5 5

2

，
又∵由AB∥GH
∴P到AB的距離等于O到GH的距離d．
∴S_最大面積=

1

2

AB•d=

1

2

×5

5

×

5 5

2

=

125

4

．

點(diǎn)評：本題主要考查二次函數(shù)、一元二次方程的根判別式及一些幾何知識，是全卷的壓軸題，綜合性很強(qiáng)，要求學(xué)生全面而扎實(shí)地掌握所學(xué)知識，第（3）小題很有創(chuàng)意又有一定的探索性，總之，這是一道能很好地考查學(xué)生初中三年積累的好題．