Question

【題目】已知點(diǎn)A（-2，1），B（0，4），C（8，16），O（0，0），P（m，n），拋物線y=ax2（a≠0）經(jīng)過A，B，C，其中的一點(diǎn)，

（1）求拋物線y=ax2（a≠0）的解析式；

（2）若直線y=mx（m≠0）與直線y=nx（n≠0）分別經(jīng)過點(diǎn)A與點(diǎn)C，判斷點(diǎn)P（m，n）是否在反比例函數(shù)y=-的圖象上；

（3）若點(diǎn)P（m，n）是反比例函數(shù)y=-的圖象上任一點(diǎn)，且直線y=mx（m≠0）與直線y=nx（n≠0）分別與拋物線y=ax2（a≠0）交于點(diǎn)M，點(diǎn)N（不同于原點(diǎn)），求證：M，B，N三點(diǎn)在一條直線上．

Answer 1

【答案】（1）y=x2；（2）點(diǎn)P在反比例函數(shù)y=-的圖象上；（3）證明見解析

【解析】

（1）根據(jù)拋物線y=ax2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0,0），可判斷圖象不過點(diǎn)B，分別將點(diǎn)A的坐標(biāo)或點(diǎn)C的坐標(biāo)代入解析式中即可求出拋物線的解析式；

（2）將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入y=mx中即可求出m的值，將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入y=nx即可求出n的值，從而判斷結(jié)論；

（3）分別聯(lián)立方程求出點(diǎn)M和點(diǎn)N的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線MN的解析式，然后判斷點(diǎn)B的坐標(biāo)是否滿足該解析式即可得出結(jié)論．

解：（1）∵拋物線y=ax2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0,0）

∴拋物線一定不過點(diǎn)B

把A（-2，1）代入y=ax2，得a=，

把C（8，16）代入y=ax2，得a=，

故該拋物線解析式為：y=x2．

（2）∵直線y=mx（m≠0）與直線y=nx（n≠0）分別經(jīng)過點(diǎn)A（-2，1）與點(diǎn)C（8，16），

∴1=-2m，16=8n．

∴m=-，n=2．

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（-，2）．

把x=-代入y=-，得y=2．

∴點(diǎn)P在反比例函數(shù)y=-的圖象上．

（3）證明：∵點(diǎn)M，點(diǎn)N分別是直線y=mx（m≠0）與直線y=nx（n≠0）分別與拋物線y=ax2（a≠0）的交點(diǎn)，

∴可列方程組：，

解得．

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)是（4m，4m2）．

同理，，

解得．

∴點(diǎn)N的坐標(biāo)是（4n，4n2）．

設(shè)經(jīng)過點(diǎn)M、N的直線為：y=kx+b（k≠0）．

把M（4m，4m2），N（4n，4n2）分別代入，得．

解得．

∵點(diǎn)P（m，n）在反比例函數(shù)y=-的圖象上，

∴mn=-1．即b=-mn=-4×（-1）=4．

∴y=（m+n）x+4．

把x=0代入，得y=4，即點(diǎn)B（0，4）在直線MN上．

∴點(diǎn)M，B，N三點(diǎn)在一條直線上．