Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸分別交于A（1，0），B（-5，0）兩點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在第一象限內(nèi)取一點(diǎn)C，作CD垂直x軸于點(diǎn)D，連接AC，且AD=5，CD=8，將Rt△ACD沿x軸向左平移m個(gè)單位，當(dāng)點(diǎn)C落在拋物線上時(shí)，求m的值；

（3）在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)C第一次落在拋物線上記為點(diǎn)E，點(diǎn)P是拋物線對稱軸上一點(diǎn)．試探究：在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使以點(diǎn)B、E、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2-4x+5；（2）m的值為7或9；（3）Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，﹣7）或（-6，﹣7）或（-4，5）．

【解析】分析：（1）由A、B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線的解析式；

（2）由題意可求得C點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)平移后的點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為C′，則C′點(diǎn)的縱坐標(biāo)為8，代入拋物線解析式可求得C′點(diǎn)的坐標(biāo)，則可求得平移的單位，可求得m的值；

（3）由（2）可求得E點(diǎn)坐標(biāo)，連接BE交對稱軸于點(diǎn)M，過E作EF⊥x軸于點(diǎn)F，當(dāng)BE為平行四邊形的邊時(shí)，過Q作對稱軸的垂線，垂足為N，則可證得△PQN≌△BEF，可求得QN，即可求得Q到對稱軸的距離，則可求得Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)，代入拋物線解析式可求得Q點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)BE為對角線時(shí)，由B、E的坐標(biāo)可求得線段BE的中點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)Q（x，y），由P點(diǎn)的橫坐標(biāo)則可求得Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)，代入拋物線解析式可求得Q點(diǎn)的坐標(biāo)．

（1）∵拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸分別交于A（1，0），B（-5，0）兩點(diǎn)，

∴，解得.

拋物線解析式為y=﹣x2-4x+5；

（2）∵AD=5，且OA=1，∴OD=6，且CD=8.∴C（6，8）.

設(shè)平移后的點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為C′，則C′點(diǎn)的縱坐標(biāo)為8.

代入拋物線解析式可得8=﹣x2-4x+5，

解得x=-1或x=-3.

∴C′點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，8）或（-3，8）.

∵C（6，8），∴當(dāng)點(diǎn)C落在拋物線上時(shí)，向左平移了7或9個(gè)單位，

∴m的值為7或9；

（3）∵y=﹣x2-4x+5=﹣（x+2）2+9，

∴拋物線對稱軸為x=-2.

由（2）可知E點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，8）.

設(shè)P（-2，t），

①當(dāng)BE為平行四邊形的一邊時(shí)，連接BE交對稱軸于點(diǎn)M，過E作EF⊥x軸于點(diǎn)F，過Q作對稱軸的垂線，垂足為N，則∠BEF=∠BMP=∠QPN.

∵∠BEF=∠QNP=90°,BE=QP,

∴△EFB≌△PQN.

∴NQ=BF=OB﹣OF=5﹣1=4.

設(shè)Q（x，y），則QN=|x+2|，

∴|x+2|=4，解得x=2或x=-6.

當(dāng)x=2或x=-6時(shí)，代入拋物線解析式可求得y=﹣7，

∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣7）或（-6，﹣7）；

②當(dāng)BE為對角線時(shí)，∵B（-5，0），E（-1，8），

∴線段BE的中點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，4），則線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，4）.

設(shè)Q（x，y），且P（-2，t），

∴x-2=-3×2，解得x=4，

把x=-4代入拋物線解析式可求得y=5.

∴Q（-4，5）；

綜上可知Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，﹣7）或（-6，﹣7）或（-4，5）．