Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣ x2+bx+c與y軸交于點C，與x軸交于A、B兩點（點A在原點左側(cè)，點B在原點右側(cè)），且∠ACB=90°，tan∠BAC= ． ①求拋物線的解析式；
②若拋物線頂點為P，求四邊形APCB的面積．

Answer 1

【答案】解：①令x=0則y=﹣ x2+bx+c=c， ∴C（0，c），
∵tan∠BAC= ，
∴A（﹣2c，0），
∠ACB=90°，
∴∠BCO=∠BAC，
∴OB= OC= c，
∴B（ c，0），
把A（﹣2c，0），B（ c，0）代入y=﹣ x2+bx+c=c得， ，
解得： ，
求拋物線的解析式為y=﹣ x2﹣ x+ ；
②y=﹣ x2﹣ x+ =﹣ （x+ ）2+ ，
∴P（﹣ ， ），
令﹣ x2﹣ x+ =0，解得：x1=﹣1，x2= ，
∴A（﹣1，0），B（ ，0）
連接AP，PC，CB，PO，則四邊形APCB的面積=S△AOP+S△POC+S△COB= ×1× + × × + × × =
【解析】①由y=﹣ x2+bx+c=c，可求得C（0，c），由tan∠BAC= ，可設(shè)A（﹣2c，0），B（ c，0），把A（﹣2c，0），B（ c，0）代入y=﹣ x2+bx+c=c求得b，c，即可求得求拋物線的解析式； ②解方程﹣ x2﹣ x+ =0可求得A，B點的坐標，由于四邊形APCB的面積=S△AOP+S△POC+S△COB ， 根據(jù)三角形的面積公式即可求得結(jié)論．
【考點精析】認真審題，首先需要了解拋物線與坐標軸的交點(一元二次方程的解是其對應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點坐標．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點．當(dāng)b2-4ac>0時，圖像與x軸有兩個交點；當(dāng)b2-4ac=0時，圖像與x軸有一個交點；當(dāng)b2-4ac<0時，圖像與x軸沒有交點．)，還要掌握解直角三角形(解直角三角形的依據(jù)：①邊的關(guān)系a2+b2=c2；②角的關(guān)系：A+B=90°；③邊角關(guān)系：三角函數(shù)的定義．(注意：盡量避免使用中間數(shù)據(jù)和除法))的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵．