Question

（2012•淮安）如圖，矩形OABC在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A（0，4），C（2，0）．將矩形OABC繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)135°，得到矩形EFGH（點(diǎn)E與O重合）．
（1）若GH交y軸于點(diǎn)M，則∠FOM=

45

°，OM=

2

2

；
（2）將矩形EFGH沿y軸向上平移t個(gè)單位．
①直線GH與x軸交于點(diǎn)D，若AD∥BO，求t的值；
②若矩形EFGH與矩形OABC重疊部分的面積為S個(gè)平方單位，試求當(dāng)0＜t≤4

2

-2時(shí)，S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）由旋轉(zhuǎn)可得出∠AOF=135°，再由矩形的內(nèi)角為直角得到一個(gè)角為直角，利用∠AOF-∠AOC求出∠COF的度數(shù)，再由∠MOC為直角，由∠MOC-∠COF即可求出∠MOF的度數(shù)；由∠MOF的度數(shù)為45°，利用兩直線平行得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，可得出三角形OHM為等腰直角三角形，由OH=MH=2，利用勾股定理即可求出OM的長(zhǎng)；
（2）①如圖所示，當(dāng)AD與BO平行時(shí)，由AB與DO平行，利用兩組對(duì)邊分別平行的四邊形為平行四邊形得到ABOD為平行四邊形，由平行四邊形的對(duì)邊相等得到AB=DO=2，由平移可知：∠HEM=45°，可得出∠OMD=∠ODM=45°，即三角形ODM為等腰直角三角形，得到OD=OM，由OD的長(zhǎng)求出OM的長(zhǎng)，由三角形HEM為等腰直角三角形，且直角邊長(zhǎng)為2，利用勾股定理求出EM的長(zhǎng)，用EM-OM即可求出平移的距離，即為t的值；
②分三種情況考慮：（i）如圖1所示，當(dāng)0＜t＜2時(shí)，重疊部分為等腰直角三角形，由平移的距離為t，得到等腰直角三角形直角邊為t，利用三角形的面積公式即可表示出S；（ii）如圖2所示，當(dāng)2≤t＜2

2

時(shí)，重疊部分為直角梯形，表示出上底，下底及高，利用梯形的面積公式表示出S即可；（iii）如圖3所示，當(dāng)2

2

≤t≤4

2

-2時(shí)，重疊部分為五邊形，由梯形面積-三角形面積，表示出S即可．

解答：解：（1）如圖所示：

由旋轉(zhuǎn)可得：∠AOF=135°，又∠AOC=90°，
∴∠COF=∠AOF-∠AOC=45°，又∠MOC=90°，
∴∠FOM=45°，又OF∥HG，
∴∠OMH=∠FOM=45°，又∠H=90°，
∴△OHM為等腰直角三角形，
∴OH=HM=2，
則根據(jù)勾股定理得：OM=2

2

；

（2）①如圖所示：連接AD，BO

∵AD∥BO，AB∥OD，
∴四邊形ADOB為平行四邊形，
∴DO=AB=2，
由平移可知：∠HEM=45°，
∴∠OMD=∠ODM=45°，
∴OM=OD=2，
由平移可知：EM=2

2

，
∴矩形EFGH平移的路程t=2

2

-2=2（

2

-1）；
②分三種情況考慮：
（i）如圖1所示，當(dāng)0＜t≤2時(shí)，重疊部分為等腰直角三角形，
此時(shí)OE=t，則重疊部分面積S=

1

2

t²；

（ii）如圖2所示，當(dāng)2＜t≤2

2

時(shí)，重疊部分為直角梯形，
此時(shí)S=

1

2

[（t-2）+t]×2=2t-2；

（iii）如圖3所示，當(dāng)2

2

＜t≤4

2

-2時(shí)，E點(diǎn)在A點(diǎn)下方，重疊部分為五邊形，
此時(shí)S=（2t-2）-

1

2

（t-2

2

）²=-

1

2

t²+2（

2

+1）t-6．

綜上，S=

1 2 t2(0＜t≤2) 2t-2(2＜t≤2 2 ) - 1 2 t2+2( 2 +1)t-6(2 2 ＜t≤4 2 -2)

．
故答案為：45；2

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于相似形綜合題，涉及的知識(shí)有：平移的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，以及梯形的面積公式，利用了分類討論的思想，根據(jù)題意作出相應(yīng)的圖形是解本題的關(guān)鍵．