Question

【題目】如圖，拋物線的圖像經(jīng)過點(diǎn)A(4，4)，B(5，0)和原點(diǎn)O，點(diǎn)P為拋物線上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為D(m，0)(m>0)，并與直線OA交于點(diǎn)C．

(1)求出拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)連接OP，當(dāng)S△OPC＝S△OCD時，求出此時的點(diǎn)P坐標(biāo)；

(3)在直線OA上取一點(diǎn)M，使得以P、C、M為頂點(diǎn)的三角形與△OCD全等，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）滿足條件的有，，，．

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法，將A、B、O三點(diǎn)坐標(biāo)代入即可求解；

（2）根據(jù)面積關(guān)系得到PC與CD的數(shù)量關(guān)系，然后設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，通過數(shù)量關(guān)系即可建立方程求解；

（3）分情況討論，利用全等的性質(zhì)建立方程求解．

解：（1）設(shè)，

將，，代入表達(dá)式得：，

解得：，

∴；

（2）∵OA經(jīng)過點(diǎn)O(0，0)、點(diǎn)A(4，4)，

∴直線OA的函數(shù)關(guān)系式為：，

設(shè)點(diǎn)，則，

∵，且兩個三角形同高，

∴，

∴，

當(dāng)時，解得：，（舍去），

∴代入得，即，

當(dāng)時，解得：，（舍去），

∴代入得，即，

綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或；

（3）當(dāng)時：

①如圖，當(dāng)≌時，，

∴，解得：，

∴；

②如圖，當(dāng)≌時，，

∴，解得：，

過點(diǎn)M作MH⊥PD于點(diǎn)H，則，

∴；

當(dāng)時：

③如圖，當(dāng)≌時，，

∴，解得：，

過點(diǎn)M作MH⊥PD于點(diǎn)H，則，

∴；

④如圖，當(dāng)≌時，點(diǎn)與點(diǎn)重合，，

綜上所述，滿足條件的有：，，，．