【題目】如圖1,在平行四邊形ABCD中,AB=5,AD=8,∠A=60°,點P為AD邊上任意一點,連接PB,并將PB繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PB′.
(1)當∠DP B′=20°時,∠ABP=____________;
(2)如圖2,連結(jié)BB′,點P從A運動到D的過程中,求△PBB′面積的取值范圍;
(3)若點B′恰好落在ABCD邊AD或BC所在的直線上時,直接寫出AP的長.(結(jié)果保留根號,不必化簡)
圖1 圖2
【答案】(1) 10°或50°;(2) S△PBB′ ;(3)AP=2.5或.
【解析】分析:
(1)根據(jù)題意需分點B′在平行四邊形ABCD外部和內(nèi)部分別進行分析討論:①當點B′在平行四邊形外部時,如圖1,由題意易得∠BPB′=90°,結(jié)合∠DPB′=20°可得∠BPD=70°,由此可得∠APB=110°結(jié)合∠A=60°即可得到∠ABP=10°;②如圖2,當點B′在平行四邊形內(nèi)部時,由題意易得∠DPB=∠B′PB+∠B′PD=90°+20°=110°,結(jié)合∠DPB=∠A+∠ABP即可求得∠ABP的度數(shù);
(2)由題意可知△PBB′是等腰直角三角形,故當其直角邊最短時,其面積最小,而當其直角邊最長時,其面積最大,由①BP⊥AD時,PB最;②PB與BD重合時,PB最大這兩種情況進行分析計算即可求得所求的取值范圍;
(3)畫出相應(yīng)的圖形,結(jié)合已知條件進行分析解答即可.
詳解:
(1)由題意可知:存在點B′在平行四邊形ABCD外部和內(nèi)部兩種情況,現(xiàn)分別討論如下:
①當點B′在平行四邊形ABCD外時,
∵∠DPB=∠B′PB﹣∠B′PD=90°﹣20°=70°,
∴∠ABP=∠DPB﹣∠A=70°﹣60°=10°,
圖1
②當點B′在平行四邊形ABCD內(nèi)時,
∵∠DPB=∠B′PB+∠B′PD=90°+20°=110°,
∴∠ABP=∠DPB﹣∠A=110°﹣60°=50°,
綜上所述,當∠DPQ=20°時,∠APB=10°或50°.
(2)①如圖3,顯然當BP⊥AD時,BP最小,
∵∠A=60°,AB=5,
∴AP=2.5,
∴此時BP最小=,
∴此時S△PBB′=
②如圖4,顯然當P與D重合時,BP最大。
過P點作PE⊥AB于點E,求得:PE=,BE=1,則BP=7.
∴此時S△PBB′=,
綜上:S△PBB′.
(3)AP=2.5或
①當點B′在AD上時,如圖3,由(2)可知,此時AP=2.5;
②當點B′在直線BC上時,如圖5,作BE⊥AD于點E,
∴∠AEB=∠PEB=90°,
∵∠A=60°,AD∥BC,
∴∠ABE=30°,∠CBE=120°,
∴AE=AB=2.5,BE=,∠CBE=90°,
∵△BPB′是等腰直角三角形,
∴∠CBP=45°,
∴∠PBE=45°,
∴PE=BE=,
∴AP=2.5+;
綜上所述,當點B′在直線AD或直線BC上時,AP的長為2.5或2.5+;
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,平行四邊形ABCD中,BD是它的一條對角線,過A、C兩點作AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分別為E、F,延長AE、CF分別交CD、AB于M、N.
(1)求證:四邊形CMAN是平行四邊形.
(2)已知DE=2,F(xiàn)N=1,求BN的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y= 的圖象交于點A(﹣2,﹣5 ),C (5,n),交y軸于點B,交x軸于點D,那么不等式kx+b﹣ >0的解集是 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,反比例函數(shù)y= 的圖象與一次函數(shù)y=x+b的圖象交于點A(1,4)、點B(﹣4,n).
(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式;
(2)求△OAB的面積;
(3)直接寫出一次函數(shù)值大于反比例函數(shù)值的自變量x的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀下面的文字,解答問題:大家知道是無理數(shù),而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù),因此的小數(shù)部分我們不可能全部寫出來,于是小明用來表示的小數(shù)部分,你同意小明的表示方法嗎?事實上,小明的表示方法是有道理的,因為的整數(shù)部分是1,將這個數(shù)減去其整數(shù)部分,差就是小數(shù)部分.又例如:∵22<7<3,即2<<3,∴的整數(shù)部分為2,小數(shù)部分為﹣2.
請解答:
(1) 的整數(shù)部分是 ,小數(shù)部分是 .
(2)如果的小數(shù)部分為a, 的整數(shù)部分為b,求a+b-的值;
(3)已知:x是3+的整數(shù)部分,y是其小數(shù)部分,請直接寫出x﹣y的值的相反數(shù).
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【題目】如圖,在平面直徑坐標系中,反比例函數(shù)y= (x>0)的圖象上有一點A(m,4),過點A作AB⊥x軸于點B,將點B向右平移2個單位長度得到點C,過點C作y軸的平行線交反比例函數(shù)的圖象于點D,CD=
(1)點D的橫坐標為(用含m的式子表示);
(2)求反比例函數(shù)的解析式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在△ABC中,AD平分∠BAC,AD⊥BC,垂足為D,AN是△ABC外角∠CAM的平分線,CE⊥AN,垂足為E.
(1)求證:四邊形ADCE是矩形;
(2)當△ABC滿足什么條件時,四邊形ADCE是正方形?給出證明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校組織了一次G20知識競賽活動,根據(jù)獲獎同學(xué)在競賽中的成績制成的統(tǒng)計圖表如下,仔細閱讀圖表解答問題:
分數(shù)段 | 頻數(shù) | 頻率 |
80≤x<85 | a | 0.2 |
85≤x<90 | 80 | b |
90≤x<95 | 60 | c |
95≤x<100 | 20 | 0.1 |
(1)求出表中a,b,c的數(shù)值,并補全頻數(shù)分布直方圖;
(2)獲獎成績的中位數(shù)落在哪個分數(shù)段?
(3)估算全體獲獎同學(xué)成績的平均分.
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