(2013•鄂爾多斯)如圖,拋物線的頂點(diǎn)為C(-1,-1),且經(jīng)過點(diǎn)A、點(diǎn)B和坐標(biāo)原點(diǎn)O,點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為-3.
(1)求拋物線的解析式;
(2)若點(diǎn)D為拋物線上的一點(diǎn),點(diǎn)E為對(duì)稱軸上的一點(diǎn),且以點(diǎn)A、O、D、E為
頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo);
(3)若點(diǎn)P是拋物線第一象限上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作PM⊥x軸,垂足為M,是否存在點(diǎn)P,使得以P、M、A為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
分析:(1)根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)出拋物線的頂點(diǎn)式解析式,將原點(diǎn)坐標(biāo)代入求出a的值,即可確定出拋物線解析式;
(2)分三種情況考慮,D在第一象限,第二象限以及第三象限,利用平行四邊形的性質(zhì)及坐標(biāo)與圖形性質(zhì)求出D坐標(biāo)即可;
(3)根據(jù)題意畫出圖形,根據(jù)B橫坐標(biāo)為-3,代入拋物線解析式求出縱坐標(biāo),確定出B坐標(biāo),進(jìn)而求出BC,BO,OC的長(zhǎng),利用勾股定理的逆定理得到三角形BOC為直角三角形,若P、M、A為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似,設(shè)P(m,n),由題意得m>0,n>0,且n=m2+2m,根據(jù)相似得比例,列出關(guān)于m的方程,求出方程的解得到m的值,進(jìn)而求出n的值,即可確定出P的坐標(biāo).
解答:解:(1)∵拋物線的頂點(diǎn)為C(-1,-1),
∴設(shè)拋物線的解析式為:y=a(x+1)2-1,
∵拋物線經(jīng)過(0,0),
∴將x=0,y=0代入拋物線解析式得:0=a-1,
解得:a=1,
∴y=(x+1)2-1=x2+2x,
令y=0時(shí),x2+2x=0,
解得x1=0,x2=-2,
∴A(-2,0);
(2)如圖所示,分三種情況考慮:
當(dāng)D1在第一象限時(shí),若四邊形AOD1E1為平行四邊形,
∴AO=E1D1=2,
∵拋物線對(duì)稱軸為直線x=-1,
∴D1橫坐標(biāo)為1,
將x=1代入拋物線y=x2+2x=1+2=3,即D1(1,3);
當(dāng)D2在第二象限時(shí),同理D2(-3,3);
當(dāng)D3在第三象限時(shí),若四邊形AE2OD3為平行四邊形,此時(shí)D3與C重合,即D3(-1,-1);
(3)存在,
∵點(diǎn)B在拋物線上,
∴當(dāng)x=-3時(shí),y=9-6=3,
∴B(-3,3),
根據(jù)勾股定理得:BO2=9+9=18;CO2=1+1=2;BC2=16+4=20,
∴BO2+CO2=18+2=20,
∴BO2+CO2=BC2,∴△BOC為直角三角形,
假設(shè)存在點(diǎn)P,使得以P、M、A為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似,
設(shè)P(m,n),由題意得m>0,n>0,且n=m2+2m,
①若△AMP∽△BOC,則
AM
BO
=
PM
CO
,即
m+2
18
=
m2+2
2

整理得:m+2=3(m2+2m)=0,即3m2+5m-2=0,
解得:m1=
1
3
,m2=-2(舍去),
m1=
1
3
時(shí),n=
1
9
+
2
3
=
7
9
,
∴P(
1
3
7
9
);                                         
②若△AMP∽△COB,則
AM
CO
=
PM
BO
,即
m+2
2
=
m2+2
18

整理得:m2-m-6=0,
解得  m1=3,m2=-2(舍去),
當(dāng)m=3時(shí),n=9+6=15,
∴P(3,15),
綜上所述,符合條件的點(diǎn)P有兩個(gè),分別是P1
1
3
,
7
9
),P2(3,15).
點(diǎn)評(píng):此題屬于二次函數(shù)綜合題,涉及的知識(shí)有:待定系數(shù)法求拋物線解析式,平行四邊形的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì),利用了數(shù)形結(jié)合及分類討論的思想,分類討論時(shí)注意考慮問題要全面.
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