Question

在矩形ABCD中，點(diǎn)P在AD上，AB=2，AP=1，將三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)P處，三角板的兩直角邊分別能與AB、BC邊相交于點(diǎn)E、F，連接EF．
（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)F恰好與點(diǎn)C重合，求此時(shí)PC的長(zhǎng)；
（2）將三角板從（1）中的位置開(kāi)始，繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)停止，在這個(gè)過(guò)程中，請(qǐng)你觀察、探究并解答：
① ∠PEF的大小是否發(fā)生變化？請(qǐng)說(shuō)明理由；
② 直接寫(xiě)出從開(kāi)始到停止，線段EF的中點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)．

Answer 1

解：（1）在矩形ABCD中，，AP=1，CD=AB=2，
∴PB=，．
∵，
∴．
∴．
∴ △ABP∽△DPC．
∴，即．
∴PC=2．……………………………………………………………………2分
（2）① ∠PEF的大小不變．
理由：過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AD于點(diǎn)G．
∴四邊形ABFG是矩形．
∴．
∴GF=AB=2，．
∵，
∴．
∴．
∴ △APE∽△GFP.  …………………………………………………4分
∴．
∴在Rt△EPF中，tan∠PEF=．……………………………5分
即tan∠PEF的值不變．
∴∠PEF的大小不變．……………………………………………6分
② . ……………………………………………………7分

解析