Question

（2013•余姚市模擬）已知：二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（3，5）、（2，8）、（0，8）．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
（2）已知拋物線y₁=a₁x²+b₁x+c₁（a₁≠0），y₂=a₂x²+b₂x+c₂（a₂≠0），且滿足

a1

a2

=

b1

b2

=

c1

c2

=k(k≠0，1)，則我們稱拋物線y₁與y₂互為“友好拋物線”，請寫出當(dāng)k=-

1

2

時(shí)第（1）小題中的拋物線的友好拋物線，并求出這友好拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）先把三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=ax²+bx+c（a≠0）得到關(guān)于a、b、c的方程組，然后解方程組求出a、b、c的值；
（2）根據(jù)題中的定義得到

-1

a2

=

2

b2

=

8

c2

=-

1

2

或

a1

-1

=

b1

2

=

c1

8

=-

1

2

，則可得到友好拋物線的解析式是：y=2x²-4x-16或y=

1

2

x²-x-4，然后分別配成頂點(diǎn)式，則可得到它們的頂點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）根據(jù)題意，得

c=8 4a+2b+c=8 9a+3b+c=5

，解得

a=-1 b=2 c=8

，
所以這個(gè)拋物線的解析式是y=-x²+2x+8；
（2）根據(jù)題意，得

-1

a2

=

2

b2

=

8

c2

=-

1

2

或

a1

-1

=

b1

2

=

c1

8

=-

1

2

解得a₂=2，b₂=-4，c₂=-16或a₁=

1

2

，b₁=-1，c₁=-4，
所以友好拋物線的解析式是：y=2x²-4x-16或y=

1

2

x²-x-4，
因?yàn)閥=2x²-4x-16=2（x-1）²-18，
所以拋物線y=2x²-4x-16的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-18）；
因?yàn)閥=

1

2

x²-x-4=

1

2

（x-1）²-

9

2

，
所以拋物線y=

1

2

x²-x-4的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-

9

2

）．

點(diǎn)評：本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：先設(shè)二次函數(shù)的解析式（一般式、頂點(diǎn)式或交點(diǎn)式），再列方程（組）、解方程（組），然后確定二次函數(shù)的解析式．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．