Question

【題目】在中，，為斜邊上的中線;在中，，,且．連接,點(diǎn)、點(diǎn)分別為線段的中點(diǎn)，連接．

如圖1，當(dāng)點(diǎn)在內(nèi)部時，求證：

如圖2，當(dāng)點(diǎn)在外部時，連接,判斷與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；

將圖1中的繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)的過程中，請直接回答：

①中的與的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生了變化?

②若,當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)在同一條直線上時，請直摟寫出的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）①與的數(shù)量關(guān)系不變；②或

【解析】

（1）利用直角三角形的斜邊的中線等于斜邊的一半和三角形的中位線即可；

（2）根據(jù)三角形的中位線和直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可知：由等邊對等角可知再由平行線的性質(zhì)可知因此得出：，所以證得△EMN≌△DNC進(jìn)而得出結(jié)論；
（3）①借助（2）得出結(jié)論；

②分兩種情況，如圖，先判斷出點(diǎn)N是以點(diǎn)D為圓心，為半徑的圓上，即可得出結(jié)論．

（1）證明，在中

是斜邊上的中線

在中，點(diǎn)分別是邊的中點(diǎn)，

（2）CN與的數(shù)量關(guān)系是

證明:如圖，連接。

在中，是斜邊上的中線，

在中，點(diǎn)是斜邊的中點(diǎn)，

中，點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)分別為線段的中點(diǎn),

，

即

（3）①與的數(shù)量關(guān)系不變

與（2）同理可證；

②或

分兩種情況，如圖，

由（2）可知：點(diǎn)N在以點(diǎn)D 為圓心，為半徑的圓上，

在Rt△ABC中，CD是AB邊上的中線，

∴CD=AB=a

∵點(diǎn)D、N分別是AB、BF的中點(diǎn)，

∴DN=AF=b

∴CN最大=CD+DN=，CN最小=CD-DN=

由（2）可知：EN=CN

∴EN最大=，EN最小=

∴EN的最大值為，EN的最小值為

∴EN的值為或者