Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=2，以點(diǎn)A為圓心，AD為半徑的圓與BC相切于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F

（1）求∠ABE的度數(shù)；

（2）用這個(gè)扇形AFED圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，所得圓錐的底面半徑是多少？

Answer 1

【答案】（1）45°；（2）0.75.

【解析】連接AE，因?yàn)锽C為圓A的切線，所以AE垂直于BC，所以三角形ABE為直角三角形，所以三角形ABE為等腰直角三角形，所以∠BAE為45°，因?yàn)椤螦EB為直角，且AD平行于BC，所以∠DAE等于∠AEB等于90°，所以圓心角BAD等于45+90等于135°，弧FED的長(zhǎng)等于乘以2π乘以2，等于1.5π，而扇形DAF為圓錐的側(cè)面，所以弧長(zhǎng)為圓錐的底面圓的周長(zhǎng)，所以半徑等于周長(zhǎng)除以2π，所以半徑等于0.75．

解：（1）連接AE，如圖1，

∵AD為半徑的圓與BC相切于點(diǎn)E，

∴AE⊥BC，AE=AD=2．在Rt△AEB中，∵AB=2, AE =2,由勾股定理得AE=BE，

∴∠ABE=45°．
（2）∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB=90°，
∴∠BAD45°+90°=135°，

∴扇形A-BFE的弧長(zhǎng)==.

設(shè)所得圓錐的底半徑是r，

則2πr=，

∴r=0.75.

即：所得圓錐的底面半徑是0.75.

“點(diǎn)睛”此題考查了切線的性質(zhì)、直角三角形全等的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及弧長(zhǎng)公式．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．