Question

【題目】如圖，已知，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠EBD+∠EDB=90°．
（1）求證：AB∥CD；
（2）H是直線CD上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)D重合），BI平分∠HBD．寫出∠EBI與∠BHD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，

∴∠ABD=2∠EBD，∠BDC=2∠BDE，

∵∠EBD+∠EDB=90°，

∴∠ABD+∠BDC=2×90°=180°，

∴AB∥CD

（2）解：∵BE平分∠ABD，

∴∠ABD=2∠EBD，

∵BI平分∠HBD，

∴∠HBD=2∠IBD，

如圖1，點(diǎn)H在點(diǎn)D的左邊時(shí)，∠ABH=∠ABD﹣∠HBD，

∠EBI=∠EBD﹣∠IBD，

∴∠ABH=2∠EBI，

∵AB∥CD，

∴∠BHD=∠ABH，

∴∠BHD=2∠EBI，

如圖2，點(diǎn)H在點(diǎn)D的右邊時(shí)，∠ABH=∠ABD+∠HBD，

∠EBI=∠EBD+∠IBD，

∴∠ABH=2∠EBI，

∵AB∥CD，

∴∠BHD=180°﹣∠ABH，

∴∠BHD=180°﹣2∠EBI，

綜上所述，∠BHD=2∠EBI或∠BHD=180°﹣2∠EBI．

【解析】（1）根據(jù)角平分線的定義可得∠ABD=2∠EBD，∠BDC=2∠BDE，然后求出∠ABD+∠BDC=180°，再根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行證明；（2）根據(jù)角平分線的定義可得∠ABD=2∠EBD，∠HBD=2∠IBD，然后分點(diǎn)H在點(diǎn)D的左邊和右邊兩種情況，表示出∠ABH和∠EBI，從而得解．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用平行線的性質(zhì)的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．