Question

【題目】如圖，點P是菱形ABCD的對角線BD上一點，連接CP并延長，交AD于E，交BA的延長線點F．問：

（1）圖中△APD與哪個三角形全等？并說明理由；

（2）求證：△APE∽△FPA；

（3）猜想：線段PC，PE，PF之間存在什么關系？并說明理由．

Answer 1

【答案】(1)△CPD．理由參見解析；（2）證明參見解析；（3）PC2=PEPF．理由參見解析.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)菱形的性質，利用SAS來判定兩三角形全等；（2）根據(jù)第一問的全等三角形結論及已知，利用兩組角相等則兩三角形相似來判定即可；（3）根據(jù)相似三角形的對應邊成比例及全等三角形的對應邊相等即可得到結論．

試題解析：（1）△APD≌△CPD．理由：∵四邊形ABCD是菱形，∴AD=CD，∠ADP=∠CDP．又∵PD=PD，∴△APD≌△CPD（SAS）．（2）∵△APD≌△CPD，∴∠DAP=∠DCP，∵CD∥AB，∴∠DCF=∠DAP=∠CFB，又∵∠FPA=∠FPA，∴△APE∽△FPA（兩組角相等則兩三角形相似）．（3）猜想：PC2=PEPF．理由：∵△APE∽△FPA，∴．即PA2=PEPF．∵△APD≌△CPD，∴PA=PC．∴PC2=PEPF．