【題目】如圖,在邊長為8的正方形ABCD中,點(diǎn)O為AD上一動(dòng)點(diǎn)(4<OA<8),以O(shè)為圓心,OA的長為半徑的圓交邊CD于點(diǎn)M,連接OM,過點(diǎn)M作⊙O的切線交邊BC于N.
(1)圖中是否存在與△ODM相似的三角形,若存在,請找出并給予證明;
(2)設(shè)DM=x,OA=R,求R關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;
(3)在動(dòng)點(diǎn)O逐漸向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)(OA逐漸增大)的過程中,△CMN的周長如何變化?說明理由.
【答案】(1)存在△MCN與△ODM相似,證明見矩形;
(2)R=;
(3)△CMN的周長是一個(gè)定值,理由見解析.
【解析】
試題(1)根據(jù)切線的性質(zhì)得出∠OMN=90,從而證得∠OMD=∠MNC;則△ODM∽△MCN;
(2)由DM=x,設(shè)OA=OM=R;則得出OD,由勾股定理得R與x的關(guān)系;
(3)可分為兩種解法得出答案.由△ODM∽△MCN,得,用含x的式子表示出CN,MN,從而得出△CMN的周長是一個(gè)定值.
試題解析:(1)存在△MCN與△ODM相似,證明如下:
∵MN切⊙O于點(diǎn)M,∴∠OMN=90°,∵∠OMD+∠CMN=90°,∠CMN+∠CNM=90°,∴∠OMD=∠MNC,又∵∠D=∠C=90°,∴△ODM∽△MCN.
(2)在Rt△ODM中,DM=x,設(shè)OA=OM=R,∴OD=AD﹣OA=8﹣R,由勾股定理得:(8﹣R)2+x2=R2,
∴64﹣16R+R2+x2=R2,∴R=.
(3)∵CM=CD﹣DM=8﹣x,OD=8﹣R=8﹣,且有△ODM∽△MCN,∴,∴代入得到:CN=.
同理,∴代入得到:MN=,∴△CMN的周長=CM+CN+MN=(8﹣x)++=(8﹣x)+(x+8)=16,
在點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)過程中,△CMN的周長始終為16,是一個(gè)定值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=﹣x2+4交x軸于點(diǎn)A、B,交y軸于點(diǎn)C,連結(jié)AC,BC,D是線段OB上一動(dòng)點(diǎn),以CD為一邊向右側(cè)作正方形CDEF,連結(jié)BF,交DE于點(diǎn)P.
(1)試判斷△ABC的形狀,并說明理由;
(2)求證:BF⊥AB.
(3)當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)O沿x軸正方向移動(dòng)到點(diǎn)B時(shí),點(diǎn)E所走過的路線長為______;
(4)探究當(dāng)點(diǎn)D在何處時(shí),△FBC是等腰三角形,并求出相應(yīng)的BF的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】探究與發(fā)現(xiàn):如圖1所示的圖形,像我們常見的學(xué)習(xí)用品--圓規(guī).我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”,
(1)觀察“規(guī)形圖”,試探究∠BDC與∠A、∠B、∠C之間的關(guān)系,并說明理由;
(2)請你直接利用以上結(jié)論,解決以下三個(gè)問題:
①如圖2,把一塊三角尺XYZ放置在△ABC上,使三角尺的兩條直角邊XY、XZ恰好經(jīng)過點(diǎn)B、C,∠A=40°,則∠ABX+∠ACX等于多少度;
②如圖3,DC平分∠ADB,EC平分∠AEB,若∠DAE=40°,∠DBE=130°,求∠DCE的度數(shù);
③如圖4,∠ABD,∠ACD的10等分線相交于點(diǎn)G1、G2…、G9,若∠BDC=133°,∠BG1C=70°,求∠A的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,等邊△ABC中,AD是∠BAC的角平分線,E為AD上一點(diǎn),以BE為一邊且在BE下方作等邊△BEF,連接CF.
(1)求證:AE=CF;
(2)求∠ACF的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(10分)一塊材料的形狀是銳角三角形ABC,邊BC=120mm,高AD=80mm,把它加工成正方形零件如圖1,使正方形的一邊在BC上,其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB、AC上.
(1)求證:△AEF∽△ABC;
(2)求這個(gè)正方形零件的邊長;
(3)如果把它加工成矩形零件如圖2,問這個(gè)矩形的最大面積是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,點(diǎn)A、點(diǎn)B分別是y軸、x軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)C在第三象限,直角邊AC交x軸于點(diǎn)D,斜邊BC交y軸于點(diǎn)E.
(1)若A(0,1),B(2,0),畫出圖形并求C點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)若點(diǎn)D恰為AC中點(diǎn)時(shí),連接DE,畫出圖形,判斷∠ADB和∠CDE大小關(guān)系,說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】課本中有一道作業(yè)題:有一塊三角形余料ABC,它的邊BC=120mm,高AD=80mm.要把它加工成正方形零件,使正方形的一邊在BC上,其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB,AC上.
(1)加工成的正方形零件的邊長是多少mm?
(2)如果原題中要加工的零件是一個(gè)矩形,且此矩形是由兩個(gè)并排放置的正方形所組成,如圖1,此時(shí),這個(gè)矩形零件的兩條邊長又分別為多少?請你計(jì)算.
(3)如果原題中所要加工的零件只是一個(gè)矩形,如圖2,這樣,此矩形零件的兩條邊長就不能確定,但這個(gè)矩形面積有最大值,求達(dá)到這個(gè)最大值時(shí)矩形零件的兩條邊長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】周末,小華和小亮想用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)測量家門前小河的寬.測量時(shí),他們選擇了河對岸邊的一棵大樹,將其底部作為點(diǎn)A,在他們所在的岸邊選擇了點(diǎn)B,使得AB與河岸垂直,并在B點(diǎn)豎起標(biāo)桿BC,再在AB的延長線上選擇點(diǎn)D豎起標(biāo)桿DE,使得點(diǎn)E與點(diǎn)C、A共線.
已知:CB⊥AD,ED⊥AD,測得BC=1m,DE=1.5m,BD=8.5m.測量示意圖如圖所示.請根據(jù)相關(guān)測量信息,求河寬AB.
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