Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，點E是BC的中點，將△ABE沿AE折疊后得到△AFE，點F在正方形ABCD的內(nèi)部，延長AF交CD于點G．

（1）猜想并證明線段GF與GC的數(shù)量關系；
（2）若將圖1中的正方形改成矩形，其它條件不變，如圖2，那么線段GF與GC之間的數(shù)量關系是否改變？請證明你的結論；
（3）若將圖1中的正方形改成平行四邊形，其它條件不變，如圖3，那么線段GF與GC之間的數(shù)量關系是否會改變？請證明你的結論．

Answer 1

【答案】
（1）

解：FG=CG，理由如下：

∵E是BC的中點

∴BE=CE

∵將△ABE沿AE折疊后得到△AFE

∴BE=EF，

∴EF=EC；

同樣，在折疊中，∠B=∠EFA=90°

又∵∠C=∠B，∠EFG=∠EFA

∴∠C=∠EFG=90°

∵EG=EG，

∴△ECG≌△EFG

∴FG=CG

（2）

解：不會改變．

證明：連接EG

∵E是BC的中點

∴BE=CE

∵將△ABE沿AE折疊后得到△AFE

∴BE=EF，

∴EF=EC；

同樣，在折疊中，∠B=∠EFA=90°

又∵∠C=∠B，∠EFG=∠EFA

∴∠C=∠EFG=90°

∵EG=EG，

∴△ECG≌△EFG

∴FG=CG；

（3）

解：不會改變．

證明：連接EG、FC

∵E是BC的中點

∴BE=CE

∵將△ABE沿AE折疊后得到△AFE

∴BE=EF，∠B=∠AFE

∴EF=EC

∴∠EFC=∠ECF

∵矩形ABCD改為平行四邊形

∴∠B=∠D

∵∠ECD=180°﹣∠D，∠EFG=180°﹣∠AFE=180°﹣∠B=180°﹣∠D

∴∠ECD=∠EFG

∴∠GFC=∠GFE﹣∠EFC=∠ECG﹣∠ECF=∠GCF

∴∠GFC=∠GCF

∴△ECG≌△EFG

∴FG=CG

即（1）中的結論仍然成立

【解析】（1）判定直角三角形△ECG和△EFG全等，和全等三角形對應邊相等的性質(zhì)；（2）判定直角三角形△ECG和△EFG全等，和全等三角形對應邊相等的性質(zhì)；（3）判定△ECG和△EFG全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等性質(zhì)即可證明．