Question

【題目】數(shù)學(xué)課上,李老師出示了如下的題目：如圖1，在等邊中，點(diǎn)在上，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且，試確定線段與的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由，

（1）小敏與同桌小聰探究解答的思路如下：

①特殊情況，探索結(jié)論，

當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，如圖2，確定線段與的大小關(guān)系，請(qǐng)你直接寫出結(jié)論：______．(填>，<或=)

②特例啟發(fā)，解答題目，

解：題目中，與的大小關(guān)系是：______．(填>，<或=)

理由如下：如圖3，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，(請(qǐng)你補(bǔ)充完成解答過程)

（2）拓展結(jié)論，設(shè)計(jì)新題，

同學(xué)小敏解答后，提出了新的問題：在等邊中，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在直線上，且，已知的邊長(zhǎng)為，求的長(zhǎng)?(請(qǐng)直接寫出結(jié)果)

Answer 1

【答案】（1）①AE=DB；②=；理由見解析；（2）2或4．

【解析】

（1）①根據(jù)等邊三角形性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)求出=求出DB=BE，進(jìn)而得出AE=DB即可；

②根據(jù)題意結(jié)合平行線性質(zhì)利用全等三角形的判定證得△BDE≌△FEC，求出AE=EF進(jìn)而得到AE=DB即可；

（2）根據(jù)題意分兩種情況討論，一種是點(diǎn)在線段上另一種是點(diǎn)在線段的反向延長(zhǎng)線上進(jìn)行分析即可.

解：（1）①∵為等邊三角形，點(diǎn)為的中點(diǎn)，

∴, ,

∵,

∴,得出,即有,

∴,

∴AE=DB.

②AE=DB，理由如下：

作EF//BC，交AB于E，AC于F，

∵EF//BC，

∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACF=60°，∠1=∠2，

∴∠4=∠5=120°，

∵EC=ED，

∴∠2=∠3，

∴∠1=∠3，

在△BDE和△FEC中，，

∴△BDE≌△FEC，

∴DB=EF，

∵∠A=∠AEF=∠AFE=60°，

∴△AEF為等邊三角形，

∴AE=EF，

∴AE=DB．

(2)第一種情況：

假設(shè)點(diǎn)在線段上，并作EF//BC，交AB于E，AC于F，如圖所示：

根據(jù)②可知AE=DB，

∵在等邊中，的邊長(zhǎng)為，

∴AE=DB=1,

∴;

第二種情況：

假設(shè)點(diǎn)在線段的反向延長(zhǎng)線上，如圖所示：

根據(jù)②的結(jié)論可知AE=DB，

∵在等邊中，的邊長(zhǎng)為，

∴；

綜上所述CD的長(zhǎng)為2或4．