Question

14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為（-1，3）、（-4，1）、（-2，1），先將△ABC沿一確定方向平移得到△A₁B₁C₁，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B₁的坐標(biāo)是（1，2），再將△A₁B₁C₁繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A₂B₂C₂，點(diǎn)A₁的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)A₂．
（1）畫出△A₁B₁C₁和△A₂B₂C₂；
（2）求出在這兩次變換過程中，點(diǎn)A經(jīng)過點(diǎn)A₁到達(dá)A₂的路徑總長；
（3）求線段B₁C₁旋轉(zhuǎn)到B₂C₂所掃過的圖形的面積．

Answer 1

分析 （1）由B點(diǎn)坐標(biāo)和B₁的坐標(biāo)得到△ABC向右平移5個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位得到△A₁B₁C₁，則根據(jù)點(diǎn)平移的規(guī)律寫出A₁和C₁的坐標(biāo)，然后描點(diǎn)即可得到△A₁B₁C₁；利用網(wǎng)格特點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫出點(diǎn)A₁的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)A₂，點(diǎn)B₁的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)B₂，點(diǎn)C₁的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C₂，從而得到△A₂B₂C₂；
（2）先利用勾股定理計(jì)算平移的距離，再計(jì)算以O(shè)A₁為半徑，圓心角為90°的弧長，然后把它們相加即可得到這兩次變換過程中，點(diǎn)A經(jīng)過點(diǎn)A₁到達(dá)A₂的路徑總長；
（3）用扇形C₁C₂的面積-扇形B₁B₂的面積即可得．

解答 解：（1）如圖，△A₁B₁C₁、△A₂B₂C₂為所作；

（2）OA₁=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
點(diǎn)A經(jīng)過點(diǎn)A₁到達(dá)A₂的路徑總長=$\sqrt{{5}^{2}+{1}^{2}}$+$\frac{90•π•4\sqrt{2}}{180}$=$\sqrt{26}$+2$\sqrt{2}$π；

（3）∵OB₁=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，OC₁=$\sqrt{{3}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∴線段B₁C₁旋轉(zhuǎn)到B₂C₂所掃過的圖形的面積為$\frac{90•π•（\sqrt{13}）^{2}}{360}$-$\frac{90•π•（\sqrt{5}）^{2}}{360}$=2π．

點(diǎn)評 本題考查了作圖-旋轉(zhuǎn)變換：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對應(yīng)角都相等都等于旋轉(zhuǎn)角，對應(yīng)線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對應(yīng)點(diǎn)，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形．也考查了平移變換．