Question

平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有兩條直線l₁、l₂，直線l₁的解析式為y=-

2

3

x+1，如果將坐標(biāo)紙折疊，使直線l₁與l₂重合，此時(shí)點(diǎn)（-2，0）與點(diǎn)（0，2）也重合．
（1）求直線l₂的解析式；
（2）設(shè)直線l₁與l₂相交于點(diǎn)M，問：是否存在這樣的直線l：y=x+t，使得如果將坐標(biāo)紙沿直線l折疊，點(diǎn)M恰好落在x軸上若存在，求出直線l的解析式；若不存在，請說明理由；
（3）設(shè)直線l₂與x軸的交點(diǎn)為A，與y軸的交點(diǎn)為B，以點(diǎn)C（0，

2

3

）為圓心，CA的長為半徑作圓，過點(diǎn)B任作一條直線（不與y軸重合），與⊙C相交于D、E兩點(diǎn)（點(diǎn)D在點(diǎn)E的下方）
①在如圖所示的直角坐標(biāo)系中畫出圖形；
②設(shè)OD=x，△BOD的面積為S₁，△BEC的面積為S₂，

S1

S2

=y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)閷⒆鴺?biāo)紙折疊，使直線l₁與l₂重合，此時(shí)點(diǎn)（-2，0）與點(diǎn)（0，2）也重合．所以折痕是直線y=-x，然后利用直線l₁與x軸交點(diǎn)（

3

2

，0），與y軸交點(diǎn)（0，1），求出l₂過點(diǎn)（0，-

3

2

），（-1，0），利用待定系數(shù)法即可求出解析式；
（2）因?yàn)橹本�l₁與l₂相交于點(diǎn)M，所以將兩個(gè)函數(shù)的解析式聯(lián)立，得到方程組，解之即可得到M（-3，3），又因?qū)⒆鴺?biāo)紙沿直線l折疊，點(diǎn)M恰好落在x軸上，所以可設(shè)M的對應(yīng)點(diǎn)為N（a，0），則l：y=x+t過MN的中點(diǎn)F（

a-3

2

，

3

2

），進(jìn)而利用解析式可求出a=6-2t，求出y=x+t與x軸交于E（-t，0），利用ME=NE，結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式即可列出方程（-3+t）²+3²=（a+t）²，即可求出l的解析式為y=x+3；
（3）因?yàn)橹本�l₂與x軸的交點(diǎn)為A，與y軸的交點(diǎn)為B，所以可求A（-1，0），B（0，-

3

2

），又因以點(diǎn)C（0，

2

3

）為圓心，CA的長為半徑作圓，過點(diǎn)B任作一條直線（不與y軸重合），與⊙C相交于D、E兩點(diǎn)（點(diǎn)D在點(diǎn)E的下方），所以O(shè)A=1，OB=1.5，OC=

2

3

，連接CA，利用AO²=OC•OB，∠AOC=∠AOB=90°，可證△AOC∽△BOA，從而有∠CAO+∠BAO=∠ABO+∠BAO=90°，即可求出BA是⊙C的切線，利用切割線定理可得BA²=BD•BE，利用勾股定理可得AB 2=

13

4

，兩者結(jié)合可得BE=

13

4BD

．
再設(shè)D（a，b），∠DBO=α，則S₁=

1

2

OB•|a|，S₂=

1

2

BC•BE•sinα=

1

2

BC•BE•

1

BD

•|a|，y=

OB•BD

BC•BE

，代入相關(guān)數(shù)據(jù)可得y=

3 2 BD

13 6 • 13 4BD

=

36

169

BD²，再利用勾股定理得到BD²=DQ²+QB²=（

3

2

+b）²+a²，a²+b²=x²，CD²=CQ²+DQ²，代入相關(guān)數(shù)據(jù)可得：b=

3

4

（x²-1），y=

36

169

（

9

4

+x²+

9

4

x²-

9

4

）．

解答：解：（1）∵將坐標(biāo)紙折疊，使直線l₁與l₂重合，此時(shí)點(diǎn)（-2，0）與點(diǎn)（0，2）也重合．
∴折痕是直線y=-x，
∵直線l₁的解析式為y=-

2

3

x+1，
∴該直線與x軸交于點(diǎn)（

3

2

，0），與y軸交于點(diǎn)（0，1），
∴l(xiāng)₂點(diǎn)（0，-

3

2

），（-1，0），
設(shè)l₂解析式為y=kx-

3

2

，
則有0=-k-

3

2

，即k=-

3

2

，
∴l(xiāng)₂的解析式為y=-

3

2

x-

3

2

；

（2）因?yàn)橹本�l₁與l₂相交于點(diǎn)M，
∴

y=- 2 3 x+1 y=- 3 2 x- 3 2

，
∴

x=-3 y=3

，即M（-3，3），
∵將坐標(biāo)紙沿直線l折疊，點(diǎn)M恰好落在x軸上，
∴設(shè)M的對應(yīng)點(diǎn)為N（a，0），則l：y=x+t過MN的中點(diǎn)F（

a-3

2

，

3

2

），
∴

3

2

=

a-3

2

+t，即a=6-2t，
∵y=x+t，與x軸交于E（-t，0），ME=NE，
∴（-3+t）²+3²=（a+t）²，
∴t=3，即l的解析式為y=x+3；

（3）∵直線l₂與x軸的交點(diǎn)為A，與y軸的交點(diǎn)為B，
∴A（-1，0），B（0，-

3

2

），
∵以點(diǎn)C（0，

2

3

）為圓心，CA的長為半徑作圓，過點(diǎn)B任作一條直線（不與y軸重合），與⊙C相交于D、E兩點(diǎn)（點(diǎn)D在點(diǎn)E的下方），
∴OA=1，OB=1.5，OC=

2

3

，
連接CA，
∵AO²=OC•OB，即

OA

OC

=

OB

OA

，
∵∠AOC=∠AOB=90°，
∴△AOC∽△BOA，
∴∠CAO+∠BAO=∠ABO+∠BAO=90°，
∵CA是半徑，
∴BA是⊙C的切線，
∴BA²=BD•BE，
∵在直角三角形AOB中，AB²=OA²+0B²=1+

9

4

=

13

4

，
∴BE=

13

4BD

，
設(shè)D（a，b），∠DBO=α，
則S₁=

1

2

OB•|a|，S₂=

1

2

BC•BE•sinα=

1

2

BC•BE•

1

BD

•|a|，
∴y=

OB•BD

BC•BE

，
∵OB=

3

2

，BC=

3

2

+

2

3

=

13

6

，
∴y=

3 2 BD

13 6 • 13 4BD

=

36

169

BD²，
∵BD²=DQ²+QB²=（

3

2

+b）²+a²，a²+b²=x²，
∴BD²=

9

4

+x²+3b，
∵CD²=CQ²+DQ²，
∴1+

4

9

=a²+（

2

3

-b）²，
∴b=

3

4

（x²-1），
∴y=

36

169

（

9

4

+x²+

9

4

x²-

9

4

），
即y=

9

13

x²．（x＞0）

點(diǎn)評：本題需仔細(xì)分析題意，結(jié)合圖形，利用切線的有關(guān)性質(zhì)、勾股定理、待定系數(shù)法即可解決問題．