Question

已知x₁、x₂是方程x²-2kx+k²-k=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．是否存在常數(shù)k，使

x1

x2

+

x2

x1

=

3

2

成立？若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：由于方程有實(shí)數(shù)根，根據(jù)一元二次方程的根的判別式確定k取什么值，然后根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系化簡(jiǎn)代數(shù)式，求出k的值，再檢查k的值是否滿足原方程有實(shí)數(shù)根，從而確定是否存在k值．

解答：解：∵a=1，b=-2k，c=k²-k
而△=b²-4ac=（-2k）²-4（k²-k）=4k
∴當(dāng)k≥0時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根；
∵x₁+x₂=2k，x₁x₂=k²-k，
而

x1

x2

+

x2

x1

=

(x1+x2)2-2x1x2

x1x2

=

4k2-2(k2-k)

k2-k

=

3

2

，
整理，解得：k₁=0，k₂=-7（舍去），
當(dāng)k=0時(shí)，x₁=x₂=0，

x1

x2

，

x2

x1

無(wú)意義；
故不存在常數(shù)k，使

x1

x2

+

x2

x1

=

3

2

成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查一元二次方程的根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系的運(yùn)用．還應(yīng)用了怎樣化簡(jiǎn)代數(shù)式，及怎樣驗(yàn)根．