由△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)O向三邊BC,CA,AB分別作垂線,垂足分別是D,E,F(xiàn).求證:AF2+BD2+CE2=FB2+DC2+EA2

證明:
連接OA、OB、OC,
AO2=AF2+FO2,AO2=AE2+EO2;
BO2=BF2+FO2,BO2=BD2+OD2
CO2=CD2+DO2,CO2=CE2+EO2
AO2+BO2+CO2=AF2+FO2+BD2+OD2+CE2+EO2=AE2+EO2+BF2+FO2+CD2+DO2,
整理得:AF2+BD2+CE2=BF2+CD2+AE2
分析:連接OA、OB、OC,構(gòu)造直角三角形:△AOF,△AOE,△BOF,△BOD,△COD,△COE,根據(jù)勾股定理,分別用AE2、AF2、FO2、EO2、DO2、BF2、BD2、CD2、CE2表達(dá)OA2,OB2,OC2.即可證明該題.
點(diǎn)評(píng):本題考查了直角三角形中勾股定理的運(yùn)用,本題連接AO.BO.CO并在每個(gè)小直角三角形中利用勾股定理是解題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:閱讀理解

閱讀材料:
如圖,△ABC中,AB=AC,P為底邊BC上任意一點(diǎn),點(diǎn)P到兩腰的距離分別為r1,r2,腰上的高為h,連接AP,則S△ABP+S△ACP=S△ABC,即:
1
2
AB•r1+
1
2
AC•r2=
1
2
AB•h
,∴r1+r2=h(定值).
(1)類比與推理
如果把“等腰三角形”改成“等邊三角形”,那么P的位置可以由“在底邊上任一點(diǎn)”放寬為“在三角形內(nèi)任一點(diǎn)”,即:已知等邊△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)P到各邊的距離分別為r1,r2,r3,等邊△ABC的高為h,試證明r1+r2+r3=h(定值).
(2)理解與應(yīng)用
△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=8,BC=6,△ABC內(nèi)部是否存在一點(diǎn)O,點(diǎn)O到各邊的距離相等?
 
(填“存在”或“不存在”),若存在,請(qǐng)直接寫出這個(gè)距離r的值,r=
 
.若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.精英家教網(wǎng)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:閱讀理解

閱讀材料:
如圖,△ABC中,AB=AC,P為底邊BC上任意一點(diǎn),點(diǎn)P到兩腰的距離分別為r1,r2,腰上的高為h,連接AP,則S△ARP+S△ACP=S△ABC,即:
1
2
AB•r1+
1
2
AC•r2=
1
2
AC•h,∴r1+r2=h(定值).
(1)理解與應(yīng)用:
如圖,在邊長(zhǎng)為3的正方形ABCD中,點(diǎn)E為對(duì)角線BD上的一點(diǎn),且BE=BC,F(xiàn)為CE上一點(diǎn),F(xiàn)M⊥BC于M,F(xiàn)N⊥BD于N,試?yán)蒙鲜鼋Y(jié)論求出FM+FN的長(zhǎng).
(2)類比與推理:
如果把“等腰三角形”改成“等邊三角形”,那么P的位置可以由“在底邊上任一點(diǎn)”放寬為“在三角形內(nèi)任一點(diǎn)”,即:
已知等邊△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)P到各邊的距離分別為r1,r2,r3,等邊△ABC的高為h,試證明r1+r2+r3=h(定值).
(3)拓展與延伸:
若正n邊形A1A2…An,內(nèi)部任意一點(diǎn)P到各邊的距離為r1r2…rn,請(qǐng)問(wèn)r1+r2+…+rn是否為定值?如果是,請(qǐng)合理猜測(cè)出這個(gè)定值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

8、由△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)O向三邊BC,CA,AB分別作垂線,垂足分別是D,E,F(xiàn).求證:AF2+BD2+CE2=FB2+DC2+EA2

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:閱讀理解

(2013•德城區(qū)二模)閱讀材料:如圖,△ABC中,AB=AC,P為底邊BC上任意一點(diǎn),點(diǎn)P到兩腰的距離分別為r1,r2,腰上的高為h,連接AP,則S△ABP+S△ACP=S△ABC,即:
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AB•r1+
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AC•r2=
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AB•h,∴r1+r2=h
(1)理解與應(yīng)用
如果把“等腰三角形”改成“等邊三角形”,那么P的位置可以由“在底邊上任一點(diǎn)”放寬為“在    三角形內(nèi)任一點(diǎn)”,即:已知邊長(zhǎng)為2的等邊△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)P到各邊的距離分別為r1,r2,r3,試證明:r1+r2+r3=
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(2)類比與推理
邊長(zhǎng)為2的正方形內(nèi)任意一點(diǎn)到各邊的距離的和等于
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(3)拓展與延伸
若邊長(zhǎng)為2的正n邊形A1A2…An內(nèi)部任意一點(diǎn)P到各邊的距離為r1,r2,…rn,請(qǐng)問(wèn)r1+r2+…rn是否為定值(用含n的式子表示),如果是,請(qǐng)合理猜測(cè)出這個(gè)定值.

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